331 1-12関連の拡大画像の画像構造(その1)

今回は、1-12の部分(1-12-1～1-12-4)を拡大する。
先ず、1-12-1～1-12-4の位置を示す。










以下に、1-12-1～1-12-4画像における、オリジナル画像、log画像、縞模様画像を順次示す。

・1-12-1画像







------------------------------------------------
・1-12-2画像







-------------------------------------------------

・1-12-3画像







------------------------------------------------

・1-12-4画像







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上図から分かるように、特に縞模様画像は縞蛇を連想させる。
この縞蛇図の縞蛇は自身が歪曲して尾が、画像の一点へと巻き込んでいくと同時に随所で分岐していく。縞蛇というより、蛸(たこ)の足を連想させる。なんとも奇妙なシロモノで形容がし難い。

この蛸状縞蛇の画像構造は、マンデルブロ画像の奇妙な構造の一例だろう。
その構造の奇っ怪さは想像を絶している。

330 1-11関連の拡大画像の画像構造(その1))

本記事以降の記事の目的は、Z^2マンデルブロ画像の発散部分を単純化し、画像構造の解析である。画像を単純化すると画像構造が、より分かりやすくなる。
***
今回の記事は以前の記事m262と同一内容である。
***
今回は前記事329の、1-11の中の5個所の部分拡大する。
各拡大部分において、オリジナル画像、log画像、縞模様画像を並べて表示する。
それらの画像の定義をあらためて下記しておく。

***オリジナル画像とは、N-loop内で、X^2+Y^2>4 となった場合(その時のNをNoとする)、
N-loopを脱出し、その場合の点(CXi,CYi)を色:C=No MOD 16 で表示する。
Nmax値は以下のとおり。
1-11-1図→1000
1-11-2～1-11-4図→5000
1-11-5図→10000

***
log画像とは、Noの変化を平坦化させるため、No→log(No)化する。
こうすることによって、Noの変化はグループ化、単純化され、C平面のNoの変化が分かり易くなる。以下のlog(No)化した画像である。
注：10^6の係数は、BASIC/98の色配順を移すためのものであり本質的な問題ではない。
log画像から以下のことが分かる。
-----
1.マンデルブロ集合部分から接近するにつれて、LOG(No)は大きくなっていく。
　(注：Noo=LOG(No)とすると、No=e^Noo)。またBASIC/98の色配列から分かるように、接近は1ずつ増加しており、そういう意味では連続に変化している。
-----
2.このLOG(No)の複素平面上での変化は非常に複雑で、
その変化模様は渦巻状であったり枝状であったり特異な模様となっている。
LOG(No)化という『単純化』しても、このように複雑な模様となっているのだから、No自体の複雑さは想像を絶する。

***
縞模様画像とはオリジナル画像を別の観点から見た図である。
画像を単純化するために、Noが奇数→赤、偶数→黒として、No>Naの場合のみ表示させた画像である。ここで、Naは、Nmax>Naの適当な値として各画像で変えている。また、N-loop貫通の場合、即ち、No=Nmaxの場合は黄色としている。この黄色の部分は、非拡散部分即ちマンデルブロ集合部分としてみてよい。
###
拡大図から分かるように、この赤黒の縞模様も独特な異様な模様となっている。
渦状に螺旋形状のモノがタコの足のように分岐していったりして、その形状の独特な異様さはマンデルブロ集合周辺に接近するほど激しく変化していく。複素平面での、Noの、この異様な変化もまた、各画像で異なっている。これらの画像も、マンデルブロ画像の異様にして豊潤な画像世界を我々に見せつけている。なんと、魅惑的世界だろう!!!

以下に、1-11-1～1-11-5 の位置を示す。








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1-11-1～1-11-5の各々のオリジナル画像、LOG画像、縞模様画像については記事262を参照のこと。

329 Z^2マンデルブロ画像の拡大(1-11～1-14)

今迄、単発的に Z^2マンデルブロ画像の縁(ふち)部分の拡大を行ってきた。
今回以後、暫く、これを続ける。

Z^2マンデルブロ画像中の部分(1-11～1-14)を下図のように選び、その各部分を拡大する。





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328 coshZ+C マンデルブロ画像の中の拡大図(その4)

今回の画像は前回とは異なる位置の拡大画像である。





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327 coshZ+C マンデルブロ画像の中の拡大図(その3)

今回の画像は前回とは異なる位置の拡大画像である。
画像1は、J.A.ピックオーバー著『コンピューター・カオス・フラクタル』の180頁の図9-10と
対応しているはずであるが、画像が一致していない。理由は不明。
coshZ+Cマンデルブロ画像で特徴的なことは、この画像のいたるところで、
Z^2マンデルブロ集合画像が現れることである。これも理由不明。





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326 coshZマンデルブロ画像 の中の画像(その2)

coshZマンデルブロ画像 の中の画像を拡大する。

親画像の作成条件は以下のとおり。
・複素関数:　coshZ+C
・C条件:　|CXi|<2π,|CYI|<2π
・Nmax=1000
・N-loop内において、X^2+Y^2>2500になった場合に発散したとして
その場合の点(CXi,CYi)を黄色で示す。
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上図の中の部分を下図のように選び、それらを拡大する。





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324 極座標における点列の挙動(その12)

『点列:Z0～Z1000のR＜=3,θ=0～2πでの挙動。N-loop脱出条件なし。』について。
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Z^2マンデルブロ集合とは、
Z0=0, Zn+1^2+λ (n=0,1,2,3,・・・・・・・・)　　　・・・・・・・・・(1)
において、n→∞において発散しないような点λの集合を言う。


半径R=0～3,θ=0～2π内の全ての点λをとった場合、点列(1)は、画像表示領域を動きまわる。画像表示領域は横軸:-4.14～+3.86,縦軸:-3～+3である。画像の中心は(-0.14,0)である。　下図は点列(1)が座標点に存在する個数(濃度mとする)の分布図であり、色コードNo.をCとすると、C=LOG(m)として該当座標のmを表している。



点列は、円R=3の外側にも存在する。その個数を明確にするため、C=m MOD 16画像も求めた(注:m=Z(K,J)は整数)

下図がC=m MOD 16 図である。



R=3の円の左外側はランダムに点が存在し、その点での個数はm=1(青)。空白部はm=0。
R=3の円の右外側は、点が同心円状に各1個の点がバラついている。

R<=3内のモアレ状の線の存在について。
LOG図とMOD図で、全く同じ状態。もしLOGで、この線が白=7と解釈してmを求めると、その線での点の分布個数はe^7=1096個となる。又　1096 MOD 16=8でありMOD画像と一致しない。従って、この線は白ではない。

この線が「点が存在しない」個所だとすると、MOD画像では特に矛盾はない。
画像作成プログラムにおいて、点が表示画像外(K,J640orJ>480)ではnext kとして飛ばしているが、特に他の処理はしていない。

LOG画像で空白は何を意味するか?　m=1の場合　LOG(m)=0(黒)である。
LOG表示ブログラムにおいて、m=0の場合は、飛ばしている(空白としている)。

従ってR＜=3内のモアレ状の線は点が存在していないことを示している。
----------------------------------
『赤円R=<-2内の点は発散しない』しないことが知られている。
『赤円R>2内の点は発散する』しないことが知られている。
又画像を求めた範囲はR<=3である。又、本画像は画像脱出条件は不可していない。

従って、23の点密度は薄くなる。

一方、R＜=2の点Cは発散しないのだから、内側に点列は軌跡していく。そのため、点列濃度
は内側に行くほど濃くなる。

323 極座標における点列の挙動(その11)及び考察と結論

『点列:Z0～Z000のJ=0～240,θ=0～2πでの分布画像(if X^2+Y^2>4 then next K条件有り)』について。
--------------------------------------------------------------------
前記事322では、点列:Z0,Z1,Z2,・・・,Z15の、J=10ほか各値でのθ=0→2πでの挙動(軌跡)を調べた。

今回は点列:Z0,Z1,Z2,・・・,Z1000、J=0→240,θ=0→2π(step 0.036度)での点列の軌跡濃度を調べた。N-loop脱出条件:if X^2+Y^2＞4 then next K の条件を入れてある。

今回の画像も記事322と同様に点列が同一座標となる濃度をmとすると、C=LOG(m)として色で表示する。m=0の場合は表示しない。下図がその画像である。なお、参考のためにマンブルブロ集合の周辺を黒い線で示しておいた。





------------------------------------------
下図は、m＜500となる点は除いた画像である。但し、この画像でのmは、N-loopのN値が500になった時点から求めている。従って、この画像での色コードをn1とすると、n1=LOG(m-500) となり、m=e^n1+500 となる。


--------------------------------------------------
以下、考察と結論である。

マンデルブロ集合とは、複素平面上の点をλとしたとき、以下の漸化式(点列)
Z0=0, Zn+1←Zn^2+λ (n=0,1,2,3,・・・・・・・・)　　　・・・・・・・・・(1)
において、n→∞においても発散しないような点λの集合を言う。

通常、|Zn|>2となれば点列(1)は発散されたとみなされる。
上図では、点λを、極座標：(R,θ)で与え、R=0→1.48,θ=0→2πの範囲で、点列(1)を全て表示させ、PCの全表示座標(横軸：-1.5～+1.5),縦軸：-1～+1)での、それらの点の個数(濃度m)を求めた。mの最大値は1,202,600となるのでLOG(m)を色で表現した。

LOG(m)は単調増加関数なので、mの増加は(LOG圧縮されているとはいえ)、色のカラーコードNo.順に対応しており、その該当色に単純に対応している。

即ち、或るPC画面座標(K,J)での色コードNo.をnといると、その座標でのmはn=LOG(m) 従って、m=e^n 個となる。
***
一番上の図での比較的濃く黒っぽく見える円板状のモノは、半径R=3で複雑に変化していく。

また、一番上の図での比較的濃く黒っぽく見える円板状の外側の部分は、この計算でのλ以外の点だが、黒い点が散在している。黒点はm=1だから、一個の点が散在していることを意味しているが、この点は恐らく、R＜=1.48内の点λの点列(1)のいずれかによる点と思われる。( 点列(1)は必ずしも単調に減少せず、円R＜2を動き回ると思われれ、この散在点は、2＞R＞1.48の、そのような点と思われる。)
***
一番下の図は、m＜500となる点は除いた画像である。但し、この画像でのmは、N-loopのN値が500になった時点から求めている。従って、この画像での色コードをn1とすると、n1=LOG(m-500) 従って、m=e^n1+500 となる。
***
一番上の図と上図は参考としてマンデルブロ集合の周辺部を黒い線で上描きしてある。

***
実はこの画像のテーマはマンデルブロ集合内の点列の分布図を求めることであったが、ここで試みたことは、マンデルブロ集合を含む半径＞=1.48内の点列の分布図である。
***
『点列が収束する』ということを『mの最大値が存在する』ということで定義すると、
『収束線』に相当する、最大値mの曲線は上図には見出せない。mの最大値は上図で見る限り、マンデルブロ集合の中央部に点としてあるだけで線状(同じ色の線)とはなっていない。本『鏡の伝説』(ダイヤモンド社)の図0-19のような分岐図にはならない。

(そもそも此の分岐図を求めようとして此のブログのテーマのように問題設定したのだが、結局、失敗した。その原因は不明である)

------------------------------------------------------------
参考のために、画像作成プログラムを下記しておく。


10 REM 濃度の計算

50 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\KOSHIKI.BAS",80,ALL
80 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\ER1.BAS",90,ALL
90 ON ERROR GOTO 50000
91 CONSOLE ,,0,1
92 COLOR 0,7,,,2
93 CLS 3
94 GOSUB 10000
120 JMAX=240:RMAX=1.36:X0=-0.14:Y0=0:DIM Z(640,480)
122 FOR I=0 TO 640
123 FOR II=0 TO 480
124 Z(I,II)=0
125 NEXT II
126 NEXT I
130 DR=RMAX/JMAX:AA=JMAX/RMAX:NMAX=1000:KMAX=1000
132 CXS=-1.5:D=1.36/320:CYS=-240*D:DTHDO=180*DTH/P
142 OPEN "C:\BASIC1\TEST\DATA.DAT" FOR OUTPUT AS #1
150 FOR J=0 TO 240
152 LOCATE 0,0:PRINT "J=";J
160 R=J*DR
162 '
172 DTH=2*P/KMAX
190 FOR K=0 TO KMAX
200 TH=K*DTH:THH=TH
210 CX=R*COS(TH)+X0
220 CY=R*SIN(TH)+Y0
221 X=0:Y=0
230 FOR N=0 TO NMAX
240 X1=X
250 X=FNR2(X,Y)+CX
260 Y=FNI2(X1,Y)+CY
270 Q=X^2+Y^2 :IF Q>4 THEN 390 ELSE 286
286 K1=INT((X-CXS)/D):J1=INT((Y-CYS)/D)
288 IF K1>640 OR J1>480 THEN 390
291 '
295 Z(K1,J1)=Z(K1,J1)+1
296 IF N=0 THEN PSET (K1,J1),0
300 WRITE #1,K1,J1,N
310 NEXT N
390 NEXT K
391 NEXT J
410 CLOSE #1
412 OPEN "C:\BASIC1\TEST\DATA整理.DAT" FOR OUTPUT AS #2
414 FOR KK=0 TO 640
416 FOR JJ=0 TO 480
418 WRITE #2,KK,JJ,Z(KK,JJ)
420 NEXT JJ
422 NEXT KK
500 END
-------------------------------

10 REM 濃度の表示
12 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\COLOR右上表示.BAS",20,ALL
20 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\ARCTAN3.BAS",30,ALL
30 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\LINE10.BAS",40,ALL
40 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\KISEKI1.BAS",50,ALL
50 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\KOSHIKI.BAS",60,ALL
60 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\ZFZ.BAS",70,ALL
70 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\FGZ.BAS",80,ALL
80 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\ER1.BAS",90,ALL
90 ON ERROR GOTO 50000
91 CONSOLE ,,0,1
92 COLOR 0,7,,,2
93 CLS 3
94 GOSUB 10000
104 '
114 OPEN "C:\BASIC1\TEST\DATA整理.DAT" FOR INPUT AS #1
120 WHILE NOT EOF(1)
130 INPUT #1,K,J,Z
132 '
134 C=LOG(Z)
138 '
139 '
140 PSET (K,J),C
142 WEND
144 CLOSE #1
154 GOTO 199
170 LOCATE 0,0:PRINT "J=1～240 "
172 LOCATE 0,1:PRINT "C=LOG(m),C=7→C=12"
174 LOCATE 0,3:PRINT "マンデルブロ集合の中心点(赤点)=(-0.14,0)"
176 LOCATE 0,2:PRINT "但し、m=0→不表示"
183 LOCATE 0,4:PRINT "Nmax=15"
186 LOCATE 0,5:PRINT
187 LOCATE 0,6:PRINT
188 LOCATE 0,19:PRINT "RMAX=1.36"
189 LOCATE 0,20:PRINT "dθ(度)=0.072"
199 '
400 OPEN "C:\BASIC1\TEST\DATAマンデルC.DAT" FOR INPUT AS #2
402 IF EOF(2) THEN 420
404 INPUT #2,X,Y
406 PSET (X,Y),0
408 GOTO 402
410 CLOSE #2
420 GOSUB 3000
500 END

322 極座標における点列の挙動(その10)

記事315では、点列:Z0,Z1,Z2,・・・,Z15の、J=10ほか各値でのθ=0→2πでの挙動(軌跡)を調べた。

今回は、J=0→240,θ=0→2π(step 0.036度)での点列の軌跡濃度を調べた。
但し、N-loop脱出条件:if X^2+Y^2＞4 then next K は入れていなかった。
今回の画像は、その条件を入れてある。

今回の画像も記事315と同様に点列が同一座標となる濃度をmとすると、C=LOG(m)として色で表示する。m=0の場合は表示しない。下図がその画像である。



---------------------------------------------
参考のために、画像作成プログラムを下記しておく。

<画像データプログラム>
10 REM マンデルブロ画像1
50 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\KOSHIKI.BAS",80,ALL
80 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\ER1.BAS",90,ALL
90 ON ERROR GOTO 50000
91 CONSOLE ,,0,1
92 COLOR 0,7,,,2
93 CLS 3
94 GOSUB 10000
120 JMAX=240:RMAX=1.36:X0=-0.14:Y0=0:DIM Z(640,480)
122 FOR I=0 TO 640
123 FOR II=0 TO 480
124 Z(I,II)=0
125 NEXT II
126 NEXT I
130 DR=RMAX/JMAX:AA=JMAX/RMAX:NMAX=15:KMAX=1000
132 CXS=-1.5:D=1.36/320:CYS=-240*D:DTHDO=180*DTH/P
142 OPEN "C:\BASIC1\TEST\DATA.DAT" FOR OUTPUT AS #1
150 FOR J=0 TO 240
152 LOCATE 0,0:PRINT "J=";J
160 R=J*DR
162 '
172 DTH=2*P/KMAX
190 FOR K=0 TO KMAX
200 TH=K*DTH:THH=TH
210 CX=R*COS(TH)+X0
220 CY=R*SIN(TH)+Y0
221 X=0:Y=0
230 FOR N=0 TO NMAX
240 X1=X
250 X=FNR2(X,Y)+CX
260 Y=FNI2(X1,Y)+CY
270 Q=X^2+Y^2 :IF Q>4 THEN 390 ELSE 286
286 K1=INT((X-CXS)/D):J1=INT((Y-CYS)/D)
288 IF K1<0 OR J1<0 THEN 390
290 IF K1>640 OR J1>480 THEN 390
291 '
295 Z(K1,J1)=Z(K1,J1)+1
296 IF N=0 THEN PSET (K1,J1),0
300 WRITE #1,K1,J1,N
310 NEXT N
390 NEXT K
391 NEXT J
410 CLOSE #1
412 OPEN "C:\BASIC1\TEST\DATA整理.DAT" FOR OUTPUT AS #2
414 FOR KK=0 TO 640
416 FOR JJ=0 TO 480
418 WRITE #2,KK,JJ,Z(KK,JJ)
420 NEXT JJ
422 NEXT KK
500 END
-------------------------------
<画像の表示プログラム>
10 REM マンデルブロ画像1
12 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\COLOR右上表示.BAS",20,ALL
20 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\ARCTAN3.BAS",30,ALL
30 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\LINE10.BAS",40,ALL
40 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\KISEKI1.BAS",50,ALL
50 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\KOSHIKI.BAS",60,ALL
60 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\ZFZ.BAS",70,ALL
70 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\FGZ.BAS",80,ALL
80 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\ER1.BAS",90,ALL
90 ON ERROR GOTO 50000
91 CONSOLE ,,0,1
92 COLOR 0,7,,,2
93 CLS 3
94 GOSUB 10000
104 '
114 OPEN "C:\BASIC1\TEST\DATA整理.DAT" FOR INPUT AS #1
120 WHILE NOT EOF(1)
130 INPUT #1,K,J,Z
132 '
134 IF Z<=0 THEN 142
136 C=LOG(Z)
138 '
139 '
140 PSET (K,J),C
142 WEND
144 CLOSE #1
154 GOTO 199
170 LOCATE 0,0:PRINT "J=1～240 "
172 LOCATE 0,1:PRINT "C=LOG(m),C=7→C=12"
174 LOCATE 0,3:PRINT "マンデルブロ集合の中心点(赤点)=(-0.14,0)"
176 LOCATE 0,2:PRINT "但し、m=0→不表示"
183 LOCATE 0,4:PRINT "Nmax=15"
186 LOCATE 0,5:PRINT
187 LOCATE 0,6:PRINT
188 LOCATE 0,19:PRINT "RMAX=1.36"
189 LOCATE 0,20:PRINT "dθ(度)=0.072"
199 '
400 OPEN "C:\BASIC1\TEST\DATAマンデルC.DAT" FOR INPUT AS #2
402 IF EOF(2) THEN 420
404 INPUT #2,X,Y
406 PSET (X,Y),0
408 GOTO 402
410 CLOSE #2
420 GOSUB 3000
500 END

321 Z^2マンデルブロ集合画像とXの分岐画像

Z^2マンデルブロ集合は、Z0=0,Zn+1=Zn^2+C (n=0,1,2,・・・,Nmax)
において、複素数:C=CX+iCYとしたとき、点列{Zn}が発散しない場合のCの集合である。

マンデルブロ集合画像のPC画面で640(実軸)dot×480(虚軸)dotとする。
集合Cの領域を実軸:CX-0.5～+2とする。

CXS=-0.5,CXE=+2,DX=(CXE-CSX)/DX,DY=DX,CYS=-240*DY
とするとパラメータ:K,Jを用いて、
CX=CXS+DX*K,(K=0～640)
CY=CYS+DY*J,(J=0～480)
として、Z^2 マンデルブロ集合画像を求めると下図のようになる。



ここで、CY=0として点列{Zn}が実数のみ場合を考える。
この場合の点列{Zn}は実数{Xn}の点列となるが、横軸:CX,縦軸:{Xn}の画像を求めてみる。
横軸はパラメータ:Kをとり、縦軸はパラメータ:KX=({Xn}/2-CYS)/DYSとしたときの画像が下図である。ここで、CXは上図と同じく、CX-0.5～+2とする。またNmax=1000としている。



下図は上図をマンデルブロ集合画像と重ね描きしたものである。



下図は、実数{CXn}の点列をn=>500のみ表示したものである。
この画像よりZ^2 マンデルブロ集合画像と実数点列{CXn}の分岐の関連が分かる。

320 中心点(-1,0):点列Z0～Z15の軌跡表示

今までの画像は極座標の中心点をマンデルブロ集合の重心(-0.14,0)にした画像であった。

今回の画像は、Z^2マンデルブロ集合画像の左頭部の中心(-1,0)にした時の画像である。

この場合も点Znは色:C=nで表す。点Z0(色→黒の円)は点列の開始点である。

今回の画像で特徴なのは、点列の軌跡の位置が、Z2マンデルブロ集合画像の「頭部」と「腹部」に分裂することである。Rを固定して、θ=0→2πにしたときの画像を以下に示す。
***
下図分かるように、Z^2マンデルブロ集合画像の左頭部の中心にした場合は、上記したように、点列Z0～Z15の軌跡はZ2マンデルブロ集合画像の「頭部」と「腹部」に分裂したおり、Znは色から識別できる。

下図の始点Zo(黒い円)は、Z^2マンデルブロ集合画像の左頭部の縁(ふち)近辺を僅かに通過させているが、通過の前後で、点列の分裂は同じ色で構成されている。即ち、分裂において同一Znが入れ違うことはない。

また、始点Zo(黒い円)とZ^2マンデルブロ集合画像の左頭部の縁(ふち)の位置関係を、よく見ると点列の軌跡が最も複雑になるのは、始点が縁(ふち)より少し大きくなった場合である(J=53あたり)。

もともと此の画像におけるZ^2マンデルブロ集合周辺図は概略図であるから正確には言えないが、点列軌跡が最も複雑になる(一種のカオス状態)となる始点:Zoが、Z^2マンデルブロ集合周辺から外側にあるというのは少し合点がいかない(特別な根拠はないが)。

いずれにしても、Z^2マンデルブロ集合画像の左頭部の中心(-1,0)にした時の、点列Z0～Z15の軌跡の様態も複雑ではあるが画像として或る種の美しさがある。その美の要因は軌跡の規則性と不規則性の混在にあると言えそうだ。

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