263 前記事262記載の1-11-2画像の中の拡大画像

前記事262記載の1-11-2画像は特に面白い画像であった。
下図は、その画像である。







ここで、下図のように1-11-2画像の中の4個所の部分を選ぶ。





下図はそれらの各拡大画像である(1-11-2-1～1-11-2-4)。
ここで、各画像において、オリジナル画像(C=No MOD 16)とLOG(No)画像と赤黒縞模様画像を並べて表示する。赤黒縞模様画像を以後便宜上『縞蛇画像』と名付ける。

縞蛇画像は、Noが偶数の時は赤、奇数の時は黒としている。また、NaをNmax以下のNoとして、NoがNa以上の場合は表示していない。そうすることによって、縞蛇の画像の構成が分かりやすくなる。

1-11-2-1 画像







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1-11-2-2 画像







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1-11-2-3 画像







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1-11-2-4 画像







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以上の画像から分かることは、これらの画像には特異点らしきものが存在するということ。その特異点とは、特に縞蛇画像で見られるように、縞蛇が画像のある一点へと収束していて、その収束の仕方は少なくとも2種類存在する。

その一つは一匹の縞蛇の『尾』が『ら線』状に、ある一点へと巻き付いて接近していく、ということ。

もう一つの収束の仕方は複数の縞蛇の各々『尾』が『環』状になって、ある一点へと接近していくということ(画像から見るとアメーバー状に見え、それらが縮んでいくように見える(特にLOG(No)画像において)。

渦巻状とアメーバー状の画像は、画像の随所に見られる。
またLOG(No)画像のアメーバー状模様は、あたかも水滴が落下して散乱した模様にも似ている。あるいは、窓硝子へ当たった雨水の滴(しずく)にも似ている。

これらの画像をザックリと見ると、細かい構造は違うが共通した画像構造が存在するように見えて面白い。

この構造は画像の大きさには関係ないらしい。

262 1-11-1 画像の検討と画像処理

記事260に、1-11-1の中の5個所の部分の拡大画像を記載した。
先ず其の画像の位置を再確認にする。







下図は1-11-1の中の5個所の部分の拡大画像である。但し、下図においてはZ^2マンデルブロ集合部分は黄色で示した。











上図は、Z→Z^2+C 循環において、N-loopを脱出したときの複素平面でのNoを色で示した図だが (C=No MOD 16: N-loopを貫通した場合はC=6黄色 )、
複素平面でのNoの変化を平坦化させるため、No→log(No)化する。

こうすることによって、Noの変化はグループ化、単純化され複素平面のNoの変化が分かり易くなる。下図はlog(No)化した画像である。
(注：10^6の係数は、BASIC/98の色配順を移すためのものであり本質的な問題ではない。)











上図から分かることは、以下のとおり。

1.Z^2マンデルブロ集合部分から接近するにつれて、LOG(No)は大きくなっていく。
　(注：Na=LOG(No)とすると、No=e^Na)。またBASIC/98の色配列から分かるように、接近は1ずつ増加しており、そういう意味では連続変化している。

2.但し、複素平面で見た時、LOG(No)の2次元平面上での変化は非常に複雑で、その変化模様は渦巻状であったり枝状であったり特異な模様となっている。LOG(No)化という『単純化』しても、このように複雑な模様となっているのだから、No自体の複雑さは更に複雑である。

上記のことは、1-11-1～1-11-5図のいずれについても共通である。
特に、Noの複素平面での2次元模様の基本的構成は共通性があるものの、その具体的模様は全て異なっていて、マンデルブロ画像の特異な複雑さが分かる。

下図は、1-11-1～1-11-5画像のオリジナル画像を別の観点から見た図である。
画像を単純化するために、Noが奇数→赤、偶数→黒として、No＞Naの場合のみ表示させた画像である。ここで、Naは、Nmax＞Naの適当な値として各画像で変えている。また、N-loop貫通の場合、即ち、No=Nmaxの場合は黄色としている。この黄色の部分は非拡散部分即ちマンデルブロ集合部分としてみてよい。











上図から分かるように、この赤黒の縞模様も独特な異様な模様となっている。
渦状に螺旋形状のモノがタコの足のように分岐していったりして、その形状の独特な異様さはマンデルブロ集合周辺に接近するほど激しく変化していく。

複素平面でのNoの此の異様な変化もまた各画像で異なっている。これらの画像もZ^2マンデルブロ画像の異様にして豊潤な画像世界を我々に見せつけている。

なんと魅惑的世界だろう!!!

261 Z^3マンデルブロ画像について

今までのマンデルブロ画像は通常のZ→Z^2+Cの画像だったが、Z→Z^3+Cのマンデルブロ画像についても調べる。

下図は、|CXi|<2,|CYi|<1.5の場合のZ^3マンデルブロ画像である。
Nmax=1000である。N-loop脱出条件は、Q=X^2+Y^2>4としていてZ^2マンデルブロ画像と同じ。

なお此の画像の作成プログラムにおいては、N=NmaxでもN-loopを脱出できない(収束状態とみなす)場合は、特に色は付けていない。従って画像の白い部分はZ^3マンデルブロ集合部分と見なせる。



上図の5箇所の部分を下図のように選び、それぞれ拡大する。





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以上の図から分かるように、Z^3+Cマンデルブロ画像においても随所にZ^3ミニ・マンデルブロ集合が存在している。以上の図で、N-loop脱出時のNをNoとしたとき画像の色はC=No MOD 16としている。

Z^3マンデルブロ集合付近の色は混然としていて、つまりNoの変化が激しい。
従ってNoの変化を平坦にするためNoをlog(No)化する。
そうすることによって、Noの変化がグループ化され其の変化の様子が単純化されNoの変化の様子が、より分かりやすくなる。

以下の図はC=INT(LOG10^5*N) MOD 16とした画像である。(画像の上の注記のNはNoのタイプ・ミスである。











以上の画像のようにNoの変化をlog化して平坦にしてもlog(N)oの変化は複雑な模様になっている。
(画像の上の注記の10^5は色をシフトさせ、配色を分かりやすくするためのもので本質的なものではない)。

このlogNoの画像の模様変化より、マンデルブロ集合付近のNoが、いかに複雑に変化しているかが分かる。このlogNo画像自体が個性的な画像となっている。

以下の図は、No>20場合のみの画像である。色はC=No MOD 16 でオリジナル画像と同じである。











上の図からも、Z^3マンデルブロ集合周辺のNoの複雑さ・混在さが分かる。

またN>20の場合に相当する画像の位置(複素平面の位置(CX,iCY)の模様が枝状に伸びていて、この模様自体も面白い。

260 1-11画像の中の5個所の拡大画像

以下の画像は1-11画像の位置、及び1-16画像の拡大部位と其れらの拡大画像である。

1-11-1～1-11-4画像は、Nma=1000。1-11-5画像は、Nmax=5000である。

画像の拡大率は1画像に対して、
1-11-1→266倍、　1-11-2→954倍、　1-11-3→2100倍、
1-11-4→3151倍、　1-11-5→6301倍

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259 記事240の1図の中の4個所の部分を更に拡大する

1図(記事240の1.親図)の周辺部位の4個所の部分を拡大する。
それらを、1-11～1-14図と名付ける。

(注：今まで1図の中での画像は、記事246(1-1～1-5図)、記事252(1-61～1-10図)で調べてきた。)

258 柱状の画像の分岐の成長とZ^2マンデルブロ画像の周辺部

下図は 記事252の1-6画像　(画像1の中の6番目の画像)　である。
Nmax=5000で、NがNmaxになったときは画像は表示しないようにプログラムしているから、白い部分はZ^2マンデルブロ集合部分である。画像の色Cは、C=No mod 16 としている。



下図は、No＜60の時のみ表示(Noが偶数→赤、奇数→黒)している。
但し、No＞500の場合は通常表示(C=No MOD 16)している。またZ^2マンデルブロ集合部分の周辺近辺部は表示されているから、Z^2マンデルブロ集合部分が分かる。



上図の発散部分において表示されているのはNo＜60の場合だけであり、その画像は末端部分が分岐した歪んだ柱状の画像となっている。(但し、No＞500部分は表示されている)
No＜n のnを大きくしていけば、柱状の画像の末端部分も表示されるようになる。

下図は No＜60の時(Noが偶数→赤、奇数→黒)。60＜=No＜80の時(Noが偶数→緑、奇数→紫)としていた画像である。
よく見ると柱の末端が伸びていることが分かる。



下図は更にnを大にして、80＜=No＜100のときC=13(暗い水色)とした場合である。
よく見ると、柱の末端が(暗い水色)で伸びていることが分かる。
解像度をもっと良くすれば、その様子がもっと鮮明に分かる。



下図は、上から2番目の図の状態で、No＞400のとき、C=N^2 mod 16で表示した画像である。
Z^2マンデルブロ集合部分の周辺が、より分かりやすくなっている。