PCが描く奇妙な画像集(数学的万華鏡と生物形態等の世界)

・インタープリタBASICによるフラクタルとカオスの奇妙な画集。

347 マンデルバー画像の拡大画像(その1)

2014-07-29 09:05:19 | マンデルバー集合
前回の記事346のマンデルバー画像の中の10個所の部分(1-1~1-10)の部分の拡大画像を示す。

先ず、拡大部分の位置を再確認する。





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Noを脱出時のN値としたとき、色Cは、以下の5種類の画像を示す
1. C=No MOD 16 ,
2. C=LOG(No) MOD 16,
3. C=4*LOG(No) MDD 16,
4. C=15-(4*LOG(No) MOD 16
5. 赤黒縞模様画像

今回は、1-1~1-5画像を示す。
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・1-1 画像











・1-2 画像











・1-3 画像











・1-4 画像











・1-5 画像










346 マンデルバー集合の画像

2014-07-29 08:13:38 | マンデルバー集合
本『コンピューター・カオス・フラクタル』の164頁の脚注にマンデルバー集合についての簡単な記述がある。
詳しい内容は書かれていない。ただ、複素数:Zに共役(conjugate)な複素数 (これを便宜上、Zc と表す) について、Z^2マンデルブロ集合画像作成手順(Z←Z^2+C)と同様にして(Zc←Zc^2+C)、画像が得られ、これをマンデルバー集合画像と名付けているそうだ。ここで、X,Yを実数としたとき、Z=X+iYならば、Zc=X-iYである。

マンデルバー集合についての情報は何もないので、とりあえず、画像要素は480×480にして、CXS=-1.5,CXe=1.2,DX=(CXE-CXS)/480,DX=DY,CYS=240*DY,CYE=-CYSとし、N-loop脱出条件を、X^2+Y^2>4 とした画像を求めてみた。以下、その画像である。1画像はNmax=100,1-1~1-10画像はNmax=500としている。



上図の中の10箇所の部分を下図のように選び、それらを拡大する。





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上図の1-1~1-10画像を見ると、画像が歪んでいるように見える。

1画像のマンデルバー集合図形はY字形で、全体とした形は不自然には見えず、歪んでいない。
1-1~1-5の画像作成方法は1と同じである。従って、1画像が無歪みのマンデバー画像だとすれば、その拡大部分画像である1-1~1-10画像が歪んで見えるのは、画像表示方法による歪ではなく、マンデルバー画像そのものの画像であろう。

つまり、マンデルバー画像の周辺部の画像は、マンデルブロー画像のような無歪みではなく、歪があることが、マンデルバー画像の性質だと思われる。ここらへんのことは未だはっきり分からない。


 

345 1-11-3-5-3画像の中の2個所の部分の画像及び検討

2014-07-29 07:31:59 | Z^2マンデルブロー集合
記事344に記載した、1-11-3-5-3画像の中の赤黒縞模様の興味深い個所を2個所、拡大する。

先ず、1-11-3-5-3画像の位置について再確認する。















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上図の1-11-3-5-3-12部分、及び、1-11-3-5-3-2部分を拡大する。
また其れらの画像の1画像に対する拡大率表も示す。









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以下は1-11-3-5-3-12部分画像、及び、1-11-3-5-3-2部分画像についての検討である。
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1-11-3-5-3-1画像について。

①1-11-3-5-3-1部分は、記事344で記載した、螺旋模様の本体から派生した部分が集まる個所の拡大図である。
この画像は元の1画像から、約110万倍拡大された画像である(上図の表を参照)。この画像の前の画像、即ち1-11-3-5-3画像で見られた赤黒縞模様の赤、黒の規則的反復は、(これは、Noが、1ずつ規則的に増加していくことを意味しているが) 、1-11-3-5-3-1画像では、その赤黒の反復性は無くなっていることが分かる。

②赤黒縞模様の本体から派生した部分が集まる個所(1-11-3-5-3-1画像)は、ギザギザの円状部分(2000<No<5000)から成り、その中央部に、No>5000(C=14:暗い黄)となるN-loop貫通部が存在している。この個所を更に拡大したらミニ・マンデルブロ画像が現れるかも知れない。

このN=loop貫通部(収束部分)の周囲にランダムに黒状の点が散在しているが、色の識別付がつかないので、それらの点のNoは不明。
700<N<1000の場合はプログラム上、C=No MOD 16の点は表示可能であるが、700 MOD 16=10(暗い赤)、1000 MOD 16=12(暗い緑)となり、散在する点は色から見て、No=700~1000の可能性はあるが、はっきりしたことは分からない。

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1-11-3-5-3-2画像について。

この画像の拡大率は1画像に対して約110万倍。1-11-3-5-3図での該当拡大部の赤黒縞模様構造が拡大しても同様に続いていることが分かる。

この画像は、No<700の場合、No偶数→赤、奇数→黒。

1000<No<2000→C=4(緑)、2000<No<5000→C=9(青)、N>5000→C=6(黄)としている。
Naを700以上にすれば、この縞模様は、もっと中心部へと続いていくと思われる。
中心部で散在する点があるが、上の1-11-3-5-3-1と同様に、それらの点の色の識別ができず、それらの点のNoは不明。それらの点の動きから見て、この画像の赤黒縞模様が中心部へと向かっているような暗示を受ける。

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追記: 下図は、1-11-3-5-3-1画像の全てのNoに対して、Noが偶数→C=2(赤)、奇数→C=0(黒)とした場合の画像である。赤黒縞模様パターンは、上の1-11-3-5-3-1画像の黄色部分(ギザギザ部分は除く)では、縞模様パターンは認識できない。ギザギザ部分までは認識できる(オリジナル画像において)。上の1-11-3-5-3-1画像の黄色部分(ギザギザ部分は除く)では、もしかしたら、Noの「偶数・奇数」性はランダム化しているのかも知れない。





344 1-11-3-5画像の中の6個所の部分の赤黒縞模様画像と解説

2014-07-29 07:10:27 | Z^2マンデルブロー集合
前記事343に記載した、1-11-3-5画像の中の赤黒縞模様画像の中の6個所の部分を拡大する。

先ず、1-11-3-5画像の箇所を再確認する。













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以下、上図の、1-11-3-5-1~1-11-3-5-6 を赤黒縞模様拡大する。













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以下、解説である。

赤黒縞模様は、No<Naの場合、Noが偶数のとき赤、奇数のとき黒としている。
従って、複素表示平面座標において、No<Naとなる部分の分布が赤黒縞模様として表示されている(縞模様にしたのは視覚的に判別とやすいからである)。

一般にNoの分布は、マンデルブロ集合に近づくにつれて、Noは増加していき、かつ、マンデルブロ集合の周辺部では、Noの分布構造は複雑に入り組んでくる。その分布構造は、表示する複素表示平面座標を変えれば全く違う分布構造が現れる。
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今迄の記事の画像からでも分かることだが、マンデルブロ集合周辺部のNoの分布には或る規則性がある。赤黒縞模様(即ち、No<Naの場合のNoの分布模様)は、マンデルブロ集合周辺部へ近づくにつれて分岐していき、その分岐は更に複雑に分岐を重ね、大ざっぱに見て、以下のような分布構造となっている。
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1.分岐の本体部が存在し、その本体部の黒赤の節目(即ち、Noが1増すごとに新しい分岐が本体の両側から発生し、その発生した新しい分岐は、同様な分岐を繰り返していく。
その場合の分岐部分の大きさと方向は随時変化していて一定ではない。

2.分岐の本体は、螺旋模様に或る一点へと収束していく。

3.2の場合、二本の別の本体が、螺旋模様となって共通の収束点へと向かうが、その螺旋は互いに、からまった状態となっている。

4.本体部分から派生した複数の分岐は、他の派生した複数の分岐と集まっていき、同一座標点へと向かって収束してくるくる。(この収束の様子は図1-11-3-5-3図において次回の記事で調べる予定)
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上図の色は以下を示している。
No<Naの場合、Noが偶数→C=2(赤)、Noが奇→数C=0(黒)
Na<Nb,Nc,Ndで、
Nb<N<Nc →C=4(緑)
Nc<N<Nd →C=9(暗い青)
N>=Nd →C=6(黄色)→Nmax=5000としているので、N-loop貫通部分を示す。
空白部分は、Na ***
このように縞模様にすることによって、N-loop脱出時のN値:Noの画像分布構造が分かりやすくなる。