092 Z^(sinZ)+C の世界(その3)

画像作成条件は以下のとおり。
・複素関数:Z^(sinZ)+C で、C=0.1,0.3,0.7,0.9,1.1の6種類。
・N-loop脱出条件:Q=tan(XY),|Q|＞100 or |Q|＜0.01
・pset条件: |X|＜10 or |Y|＜1
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注：下の4番目の画像(C=0.7)に顕著に分かるように、“噴火連山”が存在している(“噴火連山”については記事010を参照)

091 Z^(sinZ)+C の世界(その2)

画像作成条件は以下のとおり。
・複素関数:Z^(sinZ)+0.1
・N-loop脱出条件:Q=1/(log|X|log|Y|),|Q|＞10 or |Q|＜0.1
・pset条件: |X|＜10 or |Y|＜1
・N-loop入力範囲：|Xi|＜Lπ,|Yi|＜0.75Lπ で、L=0.25,0.5,1,2,4,8の一覧表示。

090 Z^(sinZ)+C の世界(その1)

画像作成条件は以下のとおり。
・複素関数:Z^(sinZ)+C で、C=0.1,0.3,0.7,0.9,1.1の6種類。
・N-loop脱出条件:Q=1/(log|X|log|Y|),|Q|＞10 or |Q|＜0.1
・pset条件: |X|＜10 or |Y|＜1
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089 f(Z)^g(Z) の世界 (その14)

画像作成条件は以下のとおり。
・複素関数：sinZ^sinZ+0.5,sinhZ^coshZ+0.5,sinZ^(e^sinZ)+0.5,
sinhZ>sinZ+0.5,(e^sinZ)^sinZ+0.5
・N-loop脱出条件: X-2+Y^2>100
・pset条件: |X|＜10 or |Y|＜10
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088 放散虫：sinZ+Z^2+0.5” の変形

下図の作成条件は以下のとおり。

1.複素関数：sinZ+Z^2+0.5
2.N-loop脱出条件：X^2+Y^2＞100
3. pset条件：sinX＞sinY



下図は上図の作成どき複素関数の虚数部の与え方を間違えたときの画像である。
これはこれで面白い画像なので掲載する。間違えたのは虚数部を与える式を
Y=FNSINI(X1,Y)+FNI2(X1,Y)とすべきところを、Y=FNSINI(X1,Y)+FNI2(X,Y)
としてしまったのだ。
このように虚数部を間違えた式が一体どんな複素関数になるのか見当もつかないが、
この複素関数も此のブログでは間違ったものではない。
このブログでの複素関数は「なんでもOK」だからだ。

087 sinZ*sinhZ+1 画像の自己相似性

今回の画像の作成条件は、以下のとおり。
1. 複素関数：(sinZ)*(sinhZ)+1 。
2. N-loop脱出条件：X^2+Y^2＞100
3. pset条件：もし、(|X|＜10 or |Y|＜10) ならば　pset する。
4. N-loop入力範囲：|Xi|＜Lπ, |Yi|＜L*0.75π

下図は、(sinZ)*(sinhZ)+1 画像を順次、拡大していった画像である。
即ち、上記4項のN-loop入力範囲を、L=3 ,2,1 にした画像である。







次に、L=3 の場合(即ち、|Xi|＜3π,|Yi|＜1.35πの画像の中の部分を下図のように、5 箇所を選び、それらを拡大します。それらの拡大部分を、それぞれ、子1～子5 と名づける。



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子2～子5 画像では、自己相似(フラクタル)な画像が存在しているが、子1 にはない。。

086 (Z^n)*sinZ +C 画像(n+1分割画像について)

今回の画像作成条件の複素関数は、(Z^n)*sinZ+C (C：実数)である。
ここで、n=2,3,4 の場合の画像を求める。

画像作成の他の条件は以下のとおり。
・N-loop脱出条件:X^2+Y^2＞100
・pset条件:(|X|＜10 or |Y|＜10
・N-loop入力範囲:|Xi|＜0.5π,|Yi|＜0.34π

以下の画像で気づくことは、画像が、(n+1)個の、ほぼ同一な画像で構成されていることだ。
なぜ、そうなるのか？ それについての検討は、この記事の脚注で示す。







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脚注：『(Z^n)*sinZ+C (C：実数) 画像は、N-loop入力範囲(|Xi|,|Yi|)が小さい領域では、同一な、(n+1)個の画像から構成される』ことの概略証明。

まず、上記条件下では、sinZ→Z となることを示す。
ガウス座標上の点Zを、Z=X+iY とする。ここで、X,Y は実数とする。

sinZ=coshY*sinX+i(sinhY*cosX) ・・・・・(1)

ここで、X, Y を充分小さいとすれば、

sinX=X-(X^3/3!)+(X^5/5!)-・・・・・→X
cosX=1-(X^2/2!)+(X^4/4!)-・・・・・→1
e^Y=1+Y+(Y^2/2!)+・・・・・→1+Y
e^(-Y)=1-Y+(((-Y)^2)/2!)+・・・→1-Y

従って、
coshY=((e^Y+e^(-Y))/2 →1
sinhY=((e^Y-e^(-Y))/2 →Y

従って、(1)より
sinZ→1*X+i(Y*1)=X+iY=Z
となる。

従って、 N-loop入力範囲(|Xi|,|Yi|)が小さい領域では、
(Z^n)*sinZ→(Z^n)*n=Z^(n+1)
となる。

従って、以前、証明したことにより、『(Z^n)*sinZ+C (C：実数) 画像は、
N-loop入力範囲(|Xi|,|Yi|)が小さい領域では、同一な、(n+1)個の画像から構成される』ことになる。 (記事011を参照)
　

085 Z^2*sinZ +0.5 画像(その2、自己相似性)

今回の画像は、前回記事084の画像のなかのニ番目画像( 即ち、Z^2*sinZ+0.5, |Xi|＜2πの画像であり、これを親画像と名づける )の中の3箇所を拡大表示する。
これらの画像を、それぞれ、子1、子2、子3 と名づける。

それらの子画像は、親画像と自己相似(フラクタル)な画像になっている。









次に、子1画像の中の3箇所を拡大する。それらの画像を、それぞれ、孫1、孫2、孫3 と名づける。それらの孫画像は、親及び子1画像と自己相似(フラクタル)な画像になっている。







このような画像の自己相似性(フラクタル性)は、このブログの画像で何度も出てきた。
その性質の要因は、画像作成プログラムのN-loopの存在にある。

N-loop、即ち、自己回帰のloopが、この自己相似(フラクタル)な画像を作っている。
自己回帰が永遠に続くならば、この自己相似な画像も永遠に続く。

つまり、親→子→孫→ひ孫→・・・・・。

084 Z^2*sinZ+0.5画像(その1)

画像作成条件は以下のとおり。
・複素関数:Z^2*sinZ+0.5
・N-loop脱出条件:X^2+Y^2＞100
・pset条件: |X|＜10 or |Y|＜10
・N-loop入力範囲：|Xi|＜Lπ, |Yi|＜Lπ
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下図は、Z^2*sinZ +0.5 画像を順次、拡大していった画像である。
即ち上記4項のN-loop入力範囲を、L=4 ,3 ,2,1,0.5 にした画像である。

083 sin(sinZ)^sin(sinZ)+0.5画像の実軸対称性

画像作成条件は以下のとおり。
・複素関数:sin(sinZ)^sin(sinZ)+0.5
・N-loop脱出条件:Q=1/(log|X|log|Y|,|Q|＞10 or|Q|＜0.1
・pset条件: |X|＜10 or |Y|＜10
・N-loop入力範囲：|Xi|＜Lπ, |Yi|＜Lπ
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下図は、上記4項のN-loop入力範囲を変えた場合の画像である。
即ち、L=1 ,2 ,3 の場合の画像である。下図から分かるように、
画像は実軸に対して対称な画像がπの周期で繰り返されている。