PCが描く奇妙な画像集(数学的万華鏡と生物形態等の世界)

・インタープリタBASICによるフラクタルとカオスの奇妙な画集。

115 Z^2 +0.24：Q=1(log|X|log|Y|) 画像の拡大図

2014-07-06 16:46:32 | ジュリィア集合の変形：Z^s+C
今回の画像は、前回(115)の画像：Z^2 +0.4 の中の 3 箇所の部分を拡大してみます。
下図は、前回(115)の画像：Z^2 +0.24の拡大画像である。



上図の3箇所を下図のように選び拡大する。



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113 (sinZ)^2 +0.5 画像の”噴煙”を拡大すると・・・

2014-07-06 15:54:36 | ジュリィア集合の変形：f(Z)+ C

前記事の、ひ孫1画像の”噴煙”部分は、どうなっているのか？
それを調べるために、今回は、ひ孫1画像の”噴煙”部分の一部を拡大してみる。
下図は、ひ孫1の画像である。この画像のモヤモヤとした黒い”噴煙”の中の一部を拡大する。



下図の中の 1 の枠部分を拡大する。( 2 の枠部分の拡大は実行していない。
その理由は、Nmax=500であるため実行時間が余りに膨大となるため実行を断念した。)　
なお、拡大枠を明確にするため、ひ孫1画像の”噴煙”部分の色は黒→黄色に変更してある。





下図が 1 の枠部分の拡大図でである。ひ孫1画像の”噴煙”部分の中に見られる不規則に散在している点は、このように拡大してみても一塊りの大きさをもったモノとはなっていない。相変わらず不規則な点が散在している。



上図より分かることは『”噴煙”部分の中の不規則な点の散在』も自己相似(フラクタル)な画像となっていることだ。
しかも、弓状の線も存在している。この図の場合、この線の色は、暗い黄色のみである。
このことは此の弓状の線は14の整数倍(但し500以下)のN値で、N-loopを脱出していることを意味している。

また上図にランダムに散在する点は、よく見ると、白色が圧倒的に多い。

上図では其れは確認しずらいが、オリジナル画像で見ると其れが確認できる。
これらの点が白色だということは或るN値でN-loopを脱出しているが、しかし画像作成条件のpset条件を満足していない点であることを意味している。

***

ここで、少し整理すると以下のように言えると思われる。

1. (sinZ)^2 +0.5 画像の、黒いモヤモヤとした”噴煙”は、N-loopを脱出出来ず、N-loopを貫通してしまうような、N-loopの入力点(Xi,Yi)の集合である。
ここでNmax=500である。(前記事の最後で述べたように、これらは、ある意味で「発散しない」点の集合と言える。)

2. ”噴煙”の中に点在する白い点は、N-loopを或るN値(＜=500)で脱出するが、pset条件を満足しない(即ち、N-loop脱出時のX,Yが『|X|<10 or |Y|<10』を満足しないような)、N-loopの入力点(Xi,Yi)の集合である。

3. ”噴煙”の中に点在する点で白色でない点は、その色に相当するN値でN-loopを脱出して、かつ、pset条件を満足するN-loopの入力点(Xi,Yi)の集合である。(ここで、色C=N MOD 16である。)

4. ”噴煙”の中に点在する点も自己相似(フラクタル)な画像となっている。

5. (sinZ)^2 +0.5 画像に弓状に走る線については其の性質は、よく分からないが、少なくとも”噴煙”部分を拡大しても存在している。

以上である。

112 (sinZ)^2 +0.5という名の噴火連山

2014-07-06 15:07:49 | ジュリィア集合の変形：f(Z)+ C
今回の画像の作成条件は、以下のとおり。

1. 複素関数：(sinZ)^2 +0.5
2. N-loop脱出条件：Q=tan(XY),(|Q|＞100 or |Q|＜0.01)
3. pset条件：|X|＜10 or |Y|＜10
4. N-loop入力範囲：|Xi|＜π, |Yi|＜0.75π
5. Nmax=50

下の画像は前記事の子1の画像である。この画像は同心円状の形をした複数の山から噴煙を出しているように見える。
この画像のモヤモヤとした黒色の部分が、いかにも噴煙のように見える。この画像を『(sinZ)^2+0.5 という名の噴火連山』とでも名づけよう。　この噴火山の頂点を、これから拡大して見ていく。　　

下図の二つの山の頂点付近を拡大する。それらの拡大図を、それぞれ、孫1画像、孫2画像と名づける。












次に、孫1画像の中の二つの山の頂点付近を拡大する。それらの拡大図を、ひ孫1画像、ひ孫2画像と名づける。










上に示した画像のN-loopのNmax値は500である。
これらの画像のモヤモヤとした噴煙部分は、N-loop巡回計算においてN=NmaxでもN-loopを脱出できないようなN-loop入力点(Xi,Yi)点の集合である。奇妙なことに、この噴煙部分には、N＜Nmaxで、N-loopを脱出しているN-loop入力点(Xi,Yi)がランダムに存在している。

N-loop脱出条件は『Q=tan(XY)として、もし、(|Q|>100 or |Q|<0.01) ならば脱出する。』であり、普通の意味での距離(即ち、Q=(X^2+Y^2)^0.5)ではない。だから、モヤモヤとした部分は通常の意味での「発散しない」とは異なる。
しかし、もし、上記『・・・』を「距離」と定義すれば、モヤモヤとした部分は「発散しない」N-loop入力点(Xi,Yi)の集合と言えるだろう。

それは、ともかくとして上に掲げた図も例によって自己相似(フラクタル)な画像となっている。
また、これらの画像に弓状に走っている線の正体はなんなのか？　これも興味ある問題である。

111 (sinZ)^2 +0.5 画像

2014-07-06 14:32:32 | ジュリィア集合の変形：f(Z)+ C
今回の画像の作成条件は、以下のとおり。

1. 複素関数：(sinZ)^2 +0.5
2. N-loop脱出条件：Q=tan(XY),(|Q|＞100 or |Q|＜0.01)
3. pset条件：|X|＜10 or |Y|＜10
4. N-loop入力範囲：|Xi|＜π, |Yi|＜0.75π
5. Nmax=50

下の画像は上記条件での画像である。この画像の上下に見られるモヤモヤとした暗い白色の部分は、Nmax=50でもN-loopを脱出せず、N-loopを貫通するような、N-loop入力点(Xi,Yi)である。
但し、その画像部分には不規則に散乱している点も見える。
この不規則な点は、N-loopにてNmax以下の、或る値でN-loopを脱出したN-loop入力点(Xi,Yi)である。

この画像は記事010の”噴火連山” N-loop入力点(Xi,Yi)と似ている。
この画像の中央部の画像も噴火連山に見立てる。すると、この画像の中央部の連山が欠けているように見える。これは、Nmax値が不足しているため、N=Nmax=50で脱出してしまった部分である。



下図はNmax=50→500にした場合の画像である。ここでは、N-loop貫通時は色を黒に変えた。
この画像の上下に見られる黒くモヤモヤとした部分は、Nmax=500でもN-loopを脱出できず貫通してしまうようなN-loop入力点(Xi,Yi)である。つまり、これらの入力点ではN-loop巡回点が少なくともNmax=500でも発散しない点であることを意味する。　奇妙なことに、上記したように、そのような「発散しない点の集合」の中に、発散点が不規則に存在していることである。　なぜか？　(ここでは、その検討はしない。)



下図のように、上図の中の 5 箇所の部分を(1～5)を拡大してみる。



上図の 5 箇所の部分の画像は以下のようになる。










110 (cosZ)*(sinhZ)+1 画像の自己相似性

2014-07-06 13:48:14 | ジュリィア集合の変形：f(Z)*g(Z)+C
今回の画像の作成条件は、以下のとおり。

1. 複素関数：(cosZ)*(sinhZ)+1 。
2. N-loop脱出条件：X^2+Y^2＞100
3. pset条件：|X|＜10 or |Y|＜10
4. N-loop入力範囲：|Xi|＜Lπ, |Yi|＜L*0.75π

下図は、(sinZ)*(sinhZ)+1 画像を順次、拡大していった画像ある。
即ち、上記4項のN-loop入力範囲を、L=2,1 にした画像ある。





次に、L=2 の場合(即ち、|Xi|＜3π,|Yi|＜1.35πの画像の中の部分を下図のように、
4 箇所を選び、それらを拡大する。それらの拡大部分を、それぞれ子1～子4 と名づける。
これらの画像は、少し歪んだ自己相似(フラクタル)な画像となっている。



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109 sinZ+coshZ+0.5画像のフラクタル性(その3)：結論

2014-07-06 09:45:23 | ジュリィア集合の変形：f(Z)+g(Z)+C
記事107よりsinZ+coshZ+0.5画像のフラクタル性について調べてきたが、此処で少し整理してみる。

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先ずsinZ+coshZ+0.5画像の出発点の画像を記事107の一番上の画像とし其れを1代目画像と名づける。 その記事の画像の中の4箇所の部分画像を2代目画像と名づける。記事107の掲載画像から分かるように、1代目と2代目画像とには歪んではいるが、自己相似(フラクタル)性があった。

記事108では、1代目の4箇所の部分画像の一つである C 枠部分の画像(2代目画像の一つ)の中の、4箇所の部分の画像を、それぞれ拡大した。それらの各拡大画像を3代目画像と名づける。
それらの3代目画像と2代目画像とには歪んではいるが相似(フラクタル)な画像で構成されていた。

従って、3代目画像と1代目画像とには歪んではいるが、相似(フラクタル)な画像で構成されていることが分かる。

では、4代目の画像は、どうなるか？　それが下図以下に示した画像である。
下図は前記事108の C 枠部分(3代目画像の一つ)の画像である。其の3代目画像の中の4箇所の部分(これらは4代目画像となる)を拡大してみる。
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上図から分かるように、A, B, C, D の枠部分の各画像・・・4代目画像に相当するが・・・それらの各画像は、少し歪んでいるにせよ、3代目の画像と自己相似(フラクタル)な画像となっている。

従って、4代目画像は、1～3代目画像と少し歪んでいるにせよ自己相似(フラクタル)な画像となっていることになる。

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結局、記事107から行ってきたことにより分かることは、このsinZ+coshZ+0.5 画像は、(歪んではいるが)相似な部分画像から構成されており、更に其の部分画像自身も、(歪んではいるが)相似な部分画像から構成されている、ということを示している。

この全体と部分の自己相似(フラクタル)性の連鎖は、おそらく無限に続いていると思われる。

此れは奇妙というか不思議というか大変面白い画像構成である。

此の画像構成の正体は勿論画像作成プログラム(アルゴリズム)でのN-loopに有る。つまり自己回帰性である。　此の自己回帰性が無限に続く限り、その投影である画像も永遠に自己相似性を続けていく、ということだろう。

108 sinZ+coshZ+0.5画像のフラクタル性(その2)

2014-07-06 08:39:00 | ジュリィア集合の変形：Z^Z関連
107 sinZ+coshZ+0.5画像のフラクタル性(その2)

下図は前回の記事107の親画像(一代目)の部分画像であるC枠部分の画像(ニ代目に相当する)である。
この二代目画像の中の4箇所の部分を拡大し其れらの画像の一代目及び二代目画像との自己相似(フラクタル)性
を見る。













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上図から分かるように、A, B, C, D の枠部分の画像は、少し歪んでいるにせよ、
一代目及び二代目の各画像と自己相似(フラクタル)な画像となっていることが分かる。

105 Z^3+iC,Q=2XY画像のフラクタル性

2014-07-06 07:53:45 | ジュリィア集合の変形：f(Z)+ C


上の画像作成条件は以下のとおり。

1.複素関数：Z^3+0.5i
2.N-loop脱出条件：Q=2XY,(|Q|＞100 or |Q|＜0.01
3.pset条件：|X|＜10 or |Y|＜10

上図の中の枠No.1 と 枠No.2 の部分を拡大する。



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上図から分かるように枠No.1と枠No.2 の各画像は、
元の画像と自己相似(フラクタル)な画像となっていることが分かる。

103 Z^3+0.5,Q=2XY画像(その3)

2014-07-06 07:30:25 | ジュリィア集合の変形：Z^s+C


上の画像の作成条件は以下のとおり。

1.複素関数：Z^3+0.5
2.N-loop脱出条件：Q=2XY,(|Q|＞100 or |Q|＜0.01
3.pset条件：|X|＜10 or |Y|＜10

この画像の部分(下図の A, B, C, D の黒枠の部分を拡大する。










いずれの画像でも奇妙な形をした「鬼」みたいなモノ達が、
手をつないでいる様子が分かる。また、これらの画像も
自己相似(フラクタル)な画像となっていることも分かる。