2012年サマージャンボ宝くじ・当選確率・期待値(仮)

今年のサマージャンボについて、

1等は4億円、当選確率は1000万分の1

500万円以上当選する確率は200万分の1

当選金の期待値は141.99円

発売日は7月9日

です。

今回もそのうち表を作って投稿する予定です。

自由落下と運動方程式・その解

重力のみがはたらく場合の質量mの物体の位置に関する運動方程式（微分方程式）は、
重力が一定であるとすると、以下のようになる。



1:<math>mH''=-mg</math>


（ただし、Hは物体の高さ、tは時刻、gは重力加速度、mは物体の質量とする。）




その解は、
2:
<math>H=H_0-
\frac{1}{2}
gt^2 </math>


（ただし、H0は時刻0における物体の高さ、初速は0とする。）




となる。


一方、重力は高さによって変化するので、重力の変化を考えると運動方程式は以下のようになる。



3:
<math>
mH''=-G\frac{mM}{H^2}
</math>


（ただし、Hは天体の中心からの距離、tは時刻、Gは重力定数、Mは天体の質量とする。
初速は0とする。）




この微分方程式を解くと、解は以下のようになる。



4:
<math>
t=\sqrt{\frac{H_0^3}{2GM}}
\left(
\frac{\sqrt{H(H_0-H)}}{H_0}
+
arccos\sqrt{\frac{H}{H_0}}
\right)
</math>



（ただし、H0は時刻0における物体の高さ、初速は0、
arccosはcosの逆関数であり定義域は-1から1、値域は0からπとする。）




本当はHをtの式で書きたかったが、tをHの式で書くことになってしまった。


t-Hのグラフは以下のようになる。



5:
<math>
\frac{\pi H_0}{2}\sqrt{\frac{H_0}{2GM}}
</math>



※<math></math>で囲まれた部分は筆者のメモのようなものなので気にしないでください。
※月の高さから地球にモノを落とすと、12時間で地球に落ちてくることになる。

新右衛門さんの顎

新右衛門さんの顎→ω

実写版では割れていなくてがっかりした。