百物語改め「九一三・六物語」

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平成27年度（2015年）国家公務員採用試験　総合職　解答　解説 【no43結合確率密度関数】

2015-06-06 | 数学

国家公務員採用試験　総合職　解答

5月24日に国家公務員試験の1次試験がありました。

解答・解説を1日1問以下のスローペースでアップしていこうと思います。

【数理科学・物理・地球科学】専門（多肢選択）

No43

 

解答：

fをyについて全実数積分すると、yにかかわらないxの確率密度関数になります。

int_{mathbb{R}} frac{1}{2pi}exp left(frac{-2x^2-2xy-y^2+2y-2}{2} right) ,dy

かっこ内をyについて平方完成して

int_{mathbb{R}} frac{1}{2pi}exp left(frac{-(y-1+x)^2-(x+1)^2}{2} right) ,dy

=int_{mathbb{R}} frac{1}{2pi} exp left(frac{-(x+1)^2}{2} right) exp left(frac{-(y-1+x)^2}{2} right) ,dy

ガウス積分を行って

=frac{1}{2pi} exp left(frac{-(x+1)^2}{2} right)*sqrt{2pi}

=frac{1}{sqrt{2pi}} exp left(frac{-(x+1)^2}{2} right)

これは正規分布N(-1,1)の確率密度関数に他ならないので

（答え）平均-1,分散1