前回導出した「ＬＬ（ランダウ・リフシッツ）の一般解」は以下の通りです。（注１）
TA＠イベント②＝Ｌ＊(Va＋(1-Va^2)/(Va＋Vb)) 秒 ・・・①式
TB＠イベント②＝Ｌ＊sqrt(1-Va^2)＊sqrt(1-Vb^2)/(Va＋Vb) 秒 ・・・②式
ここで時計Ｃと時計Ｂの間に設定された静止系に対して時計Ｃと時計Ａは左からVaで接近し、時計Ｂは右からVbで接近する。
そうしてもちろん相対論的に加算された時計Ｃと時計Ｂの相対速度はV。
時計Ｃは長さＬの棒の先端に取り付けられていて、時計Ａはその棒の終端に取り付けられている、と言うのが条件です。
そうしてこれがランダウ・リフシッツが説明した「３つの時計を使った２つの慣性系の間での時間の遅れの測定方法」を実施した場合に「その測定により得られることになる観測結果を表す一般解」となるのでした。
さてそれで、本当にこれが今まで確認してきた計算結果を再現できるのか、検証しなくてはなりません。
ケース１：時計Ａと時計Ｃは静止していて、時計Ｂが右から相対速度Ｖで動いてくる場合。
この場合はVa=0でVb＝０．８Ｃ。Ｌ＝４Ｃは固定条件。
これを一般解に代入します。
①式より
TA＠イベント②＝Ｌ＊(Va＋(1-Va^2)/(Va＋Vb))
＝4＊(0+(1-0^2)/(0+0.8))
=4＊(1/0.8)=5
②式より
TB＠イベント②＝Ｌ＊sqrt(1-Va^2)＊sqrt(1-Vb^2)/(Va＋Vb)
＝4＊sqrt(1-0^2)＊sqrt(1-0.8^2)/(0+0.8)
手計算でも出ますがここはウルフラムにやってもらいます。
実行アドレス
https://ja.wolframalpha.com/input?i=4%EF%BC%8Asqrt%281-0%5E2%29%EF%BC%8Asqrt%281-0.8%5E2%29%2F%280%2B0.8%29
答えは３
これでケース１の場合はTA＠イベント②とTB＠イベント②は一般解が従来の手計算と同じ答えを出す事が分かりました。
ケース２：時計Ａと時計Ｃが左から相対速度Ｖで動いてきて、時計Ｂは静止している場合。
この場合はVa=０．８ＣでVb＝０。Ｌ＝４Ｃは固定条件。
これを一般解に代入します。
①式より
TA＠イベント②＝Ｌ＊(Va＋(1-Va^2)/(Va＋Vb))
＝4＊(0.8+(1-0.8^2)/(0.8+0))
暗算するには厳しいのでウルフラムに入れます。
実行アドレス
https://ja.wolframalpha.com/input?i=4%EF%BC%8A%280.8%2B%281-0.8%5E2%29%2F%280.8%2B0%29%29
答えは５
②式より
TB＠イベント②＝Ｌ＊sqrt(1-Va^2)＊sqrt(1-Vb^2)/(Va＋Vb)
＝4＊sqrt(1-0.8^2)＊sqrt(1-0^2)/(0.8+0)
ウルフラムに入れて
実行アドレス
https://ja.wolframalpha.com/input?i=4%EF%BC%8Asqrt%281-0.8%5E2%29%EF%BC%8Asqrt%281-0%5E2%29%2F%280.8%2B0%29
答えは３
ケース２の場合もTA＠イベント②とTB＠イベント②は一般解が従来の手計算と同じ答えを出す事が分かりました。
ケース３：時計Ａと時計Ｃが左から相対速度Va＝０．５Ｃで動いてきて、時計Ｂが右から相対速度Vb＝０．５Ｃで動いてくる場合。（注２）
この場合はVa=０．５ＣでVb＝０．５Ｃ。Ｌ＝４Ｃは固定条件。
これを一般解に代入します。・・・以下省略
TA＠イベント②＝５でTB＠イベント②＝３を得ます。
ケース３の場合もTA＠イベント②とTB＠イベント②は一般解が従来の手計算と同じ答えを出す事が分かります。（やってみて下さい。驚くべき事にそうなります。）
さて以上の確認では①式と②式が確かに従来計算を再現出来ている事が確認できました。
しかしながらこの一般解を導出したのは「時計Ｃと時計Ｂの間のどこに静止系の原点があっても観測結果は常にTA＠イベント②＝５でTB＠イベント②＝３になってしまう」という事を確認するのが目的でした。
それで上記では３つのケースについての一般解の結果は「確かにTA＠イベント②＝５でTB＠イベント②＝３」になっていました。
しかしながら「時計Ｃと時計Ｂの間のどこに静止系の原点をおくのか、その選択は無限にある」のです。
これは別の言い方をしますと「VaとVbを相対論的に加算して０．８ＣになるVaとVbの組み合わせは無限に存在する」という事です。(注２）
という訳で、VaとVbの無限の組み合わせをここで計算して「TA＠イベント②＝５でTB＠イベント②＝３になっている事を確認する」訳にもいきませんから、別のアプローチをとる、という事になります。
注１：ちなみにこの一般解は時間遅れの測定方法を説明した
Lev Landau, Evgeny Lifschitzにちなんで「ＬＬの一般解」と呼ぶことにします。
注２：Va=０．５ＣでVb＝０．５Ｃ
V=(Va+Vb)/(1+Va＊Vb) ＜－－相対論的速度の加算式によれば
Ｖ＝(0.5+0.5)/(1+0.5＊0.5)
=1/(1.25)=0.8