東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

日本数学オリンピックの簡単な問題(60)

2016-10-15 12:28:39 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

高気圧が日本を広く覆っていて、九州以外は全国的に晴れマーク一色です。東久留米も雲ひとつない秋晴れで、気温は21°、湿度は51%と快適な日になりました。明日もいい天気になるようです。

さて、今回は2000年日本数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「数のように直角三角形内に3つの正方形と3つの円O1、O2、O3があり、各円はそれぞれを含む小直角三角形の内接円であり、O1、O3の直径の長さはそれぞれ9、4である。円O2の直径の長さを求めよ。
 なお、この図は1853年に佐々木萬蔵が陸奥の国(現在の岩手県)三陸綾里八幡神社に奉納した算額から取ったものである。」
です。

▲問題図

早速、取り掛かりましょう。

問題図の各点を、図1のように、AからGとします。


▲図1.各点をAからGとしました

このとき、図2に示すように、△ABCと円O1、△ADEと円O2、△AFGと円O3を含む図形は相似で、それらの相似比の関係は、
(△ABCと円O1を含む図形):(△ADEと円O2を含む図形)=(△ADEと円O2を含む図形):(△AFGと円O3を含む図形) (★)
になります。


▲図2.△ABCと円O1、△ADEと円O2、△AFGと円O3を含む図形は相似です

そこで、円O2の直径をxとすると、(★)から
9:x=x:4
x^2=36
x=6
です。

したがって、円O2の直径はで、これが答えです。


相似を移用すれば簡単な問題です。

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