東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

日本数学オリンピックの簡単な問題(61)

2016-10-16 12:27:49 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

午前中は少し陽が射したのですが、昼過ぎにはすっかり曇ってしまいました。天気は下り坂で、明日は雨になるようです。

さて、今回は2001年日本数学オリンピック予選に出題された関数とグラフの問題を取り上げます。

問題は、
「座標平面上に、原点(0,0)、点A(1,0)がある。点Pは半直線x=0、y≧1上を、点Qは半直線x=1、y≧1を、四角形OAQPの面積が常に2となるように動く。点B(1/2,0)と直線PQの距離がとりうる最大の値を求めよ。
 ただし、点Bと直線PQの距離とは、点Bから直線PQに下ろした垂線の長さのことである。」
です。

早速、図1のように、問題のグラフを描きましょう。


▲図1.問題のグラフを描きました

まず、図2のように、点P、Qの座標をそれぞれ(0,p)、(1,q)とおき、点Bから直線PQに下ろした垂線の足をRとします。


▲図2.点P、Qの座標を(0,p)、(1,q)、点Bから直線PQに下ろした垂線の足をRとしました

ここで、四角形OAQPの面積が2になることから、
(四角形OAQPの面積)=(OP+AQ)×OA×1/2
               =(p+q)/2
               =2
が成り立ち、これを整理して、
p+q=4                 (1)
です。

次に、直線PQの式は、
y=(q-p)x+p
で、(1)を使ってqを消去すると、
y=(4-p-p)x+p
 =(4-2p)x+p           (2)
です。

さらに(2)を変形すると、
y=(4-2p)(x-1/2)+2     (3)
になります。

ここで、(3)にx=1/2を代入するとy=2になり、pに依存しないことが判ります。

つまり、(3)の式は定点(1/2,2)を通るということを意味しています。

したがって、図3のように、四角形OAQPの面積を2に保ちながら点P、Qが動くとき、直線PQは必ず点C(1/2,2)を通ることになります。


▲図3.直線PQは必ず点C(1/2,2)を通ります

そこで、図4のように、点Cを通るいくつかの直線PQを調べてみましょう。


▲図4.点Cを通る直線PQを調べます

図4のL1、L2、L3はそれぞれ以下の場合を表しています。

L1:点Bから直線PQに下ろした垂線の足が点Cになる場合

L2:その傾きがL1の傾き以下の場合

L3:その傾きがL1の傾き以上の場合

これらの3つの場合について、点Bから垂線の長さはそれぞれ、BC、BR、BSで、これらの3つの線分の長さの大小関係は、
BC≧BR
BC≧BS
です。

したがって、点Bから直線PQに下ろした垂線の長さが最大になるのは、その垂線の足がC(1/2,2)のときです。

あとは、図5のように、三平方の定理を使って、線分BCの長さを計算すればお仕舞いです。


▲図5.三平方の定理を使って線分BCの長さを計算します

点Cからx軸に垂線を下ろし、その足をHとすると、△BCHは直角三角形なので、三平方の定理から
BC^2=BH^2+CH^2
が成り立ちます。

このとき、BH=1/4、CH=2なので、
BC^2=(1/4)^2+2^2
    =1/16+4
    =65/16
から
BC=√65/4
で、これが答えです。


点Bと直線PCとの距離をp(またはq)で表して、その最大値を求めることもできそうですが、分数式を扱わなくてはならないので、少し煩雑かもしれません。興味のある人は調べてみてください。

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