東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

日本数学オリンピックの簡単な問題(127)

2017-04-26 13:44:28 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

朝から空は厚い雲で覆われていて、雨が降りそうな雲行きです。明日も同じような天気が続くようですが、明後日には晴れ間が見られるようです。

さて、今回は2002年日本数学オリンピック予選に出題された計算問題を取り上げます。

問題は、
「次の式を1つの既約分数(これ以上約分できない分数)の形で表したとき、その分子を2002で割った、余りを求めよ。

    2/3!+3/4!+・・・+11/12!

ただし、自然数nに対し、n!は1×2×・・・×(n-1)×nを表している。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

1/n!-1/(n+1)!=((n+1)-1)/(n+1)!
              =n/(n+1)!
ですから、
2/3!=1/2!-1/3!
3/4!=1/3!-1/4!
     ・
     ・
     ・
11/12!=1/11!-1/12!
です。

つまり、
 2/3!+3/4!+・・・+11/12!
=1/2!-1/3!+1/3!-1/4!+・・・+1/11!-1/12!
=1/2!-1/12!
=(3×4×・・・×12-1)/12!        (1)
になり、与えられた式が簡単な形になりました。

ここで、3×4×・・・×12=Aとすると、(1)の右辺は、(A-1)/2Aになります。

このとき、Aが偶数からA-1は奇数なので、A-1と2は互いに素になります。

一方、A-1とAは互いに素ですから、A-1と2Aは互いに素になり、(1)の右辺は既約分数になります。

したがって、
3×4×・・・×12-1               (2)
を2002で割ったときの余りを計算すればOKです。

あとは力ずくで片付けてしまいましょう。

3×4×5×6×7=2520=2002+518
8×9×10×11=7920=2002×3+1914
から、(2)の第1項目を2002で割った余りは、
518×1914×12                (3)
を2002で割った余りと同じになります。

さらに、
518×1914×12=518×4×1914×3
            =2072×5742
            =(2002+70)×(2002×2+1738)
から、(3)を2002で割った余りは、
70×1738                     (4)
を2002で割った余りと同じになります。

最後に、
70×1738=121660
        =(2002×60+1540)
から、(4)を2002で割った余りは1540です。

以上から、(2)を2002で割った余りは、1540-1= 1539 で、これが答えです。

また、(2)の第1項目を2002で割った余りを計算するとき、ウィルソンの定理「正の整数pについて、pが素数⇔(p-1)!≡-1 modp を利用すると簡潔になります。

12!≡12 mod13
から
3×4×・・・×12≡12/2=6 mod13
です。

一方、2002=2×7×11×13から、3×4×・・・×12を2002で割った余りは2×7×11=154の倍数です。つまり、0以上2001以下の整数で、13で割って6余り、154の倍数を探すことになり、これを満たす整数は1540だけです。


与えられた式の各分数を分解することができれば簡単な問題です。

東久留米の学習塾学研CAIスクール 東久留米滝山校
http://caitakiyama.jimdo.com/
TEL 042-472-5533
コメント
この記事をはてなブックマークに追加

日本数学オリンピックの簡単な問題(126)

2017-04-25 12:34:24 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

快晴で気温も20℃と過ごしやすい日になりました。明日、明後日は、前線を伴う低気圧の影響で下り坂ですが、それ以降は、いい天気が続くようです。

さて、今回は2003年日本数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「1円玉、5円玉、10円玉、50円玉、100円玉、500円玉を使ってちょうど777円を支払い、支払う硬貨の合計枚数が最小になるようにする。このときの合計枚数を求めよ。
 ただし、どの硬貨も十分な枚数をもっているものとし、使わない硬貨があってもよいものとする。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

1円玉、5円玉、10円玉、50円玉、100円玉、500円玉を使ってちょうど777円を支払う方法は有限個なので、硬貨の合計枚数を最小にする支払い方が存在します。

そこで、777円の支払いに使う1円玉、5円玉、10円玉、50円玉、100円玉、500円玉の枚数をそれぞれa枚、b枚、c枚、d枚、e枚、f枚とすると、
a+5b+10c+50d+100e+500f=777    (1)
が成り立ちます。

このとき、5円を支払うとき、5枚の1円玉より1枚の5円玉のほうが硬貨の枚数が少ないので、
0≦a≦4
です。

同様に、2枚の5円玉と1枚の10円玉、5枚の10円玉と1枚の50円玉、2枚の50円玉と1枚の100円玉、5枚の100円玉と1枚の500円玉では、それぞれ後者のほうが硬貨の枚数が少ないので、
0≦b≦1
0≦c≦4
0≦d≦1
0≦e≦4
です。

これらを基にして調べていきましょう。

まず、a+5b+10c+50d+100eの最大値を調べると、それは、a=4、b=1、c=4、d=1、e=4のときで、
4+5+40+50+400=499
です。

すると(1)から
500f=777-(a+5b+10c+50d+100e)
    ≧777-499
    ≧278
で、f≧1です。

このとき、f≧2とすると、
a+5b+10c+50d+100e+500f≧a+5b+10c+50d+100e+1000
                        >777
になり、「ちょうど777円を払う」ことができません。

したがって、f=1になります。

次に、f=1を(1)に代入して整理すると、
a+5b+10c+50d+100e=277         (2)
になります。

ここで、a+5b+10c+50dの最大値を調べると、それは、a=4,b=1、c=4、d=1のときで、
4+5+40+50=99
です。

すると(2)から
100e=277-(a+5b+10c+50d)
    ≧277-99
    =188
で、e≧1です。

このとき、e≧3とすると、
a+5b+10c+50d+100e+500≧a+5b+10c+50d+300+500
                       =a+5b+10c+50d+800
                       >777
になり、「ちょうど777円を払う」ことができません。

また、e=1とすると、(2)から
a+5b+10c+50d=177>99
になり、777円支払うことができません。

したがって、e=2になります。

次に、e=2を(2)に代入して整理すると、
a+5b+10c+50d=77                (3)
になります。

ここで、a+5b+10cの最大値を調べると、それは、a=4、b=1、c=4のときで、
4+5+40=49
です。

すると(3)から
50d=77-(a+5b+10c)
   ≧77-49
   =28
で、d≧1です。

このとき、d≧2とすると、
a+5b+10c+50d+200+500≧a+5b+10c+100+200+500
                      =a+5b+10c+800
                      >777
になり、「ちょうど777円を払う」ことができません。

したがって、d=1になります。

次に、d=1を(3)に代入して整理すると、
a+5b+10c=27                    (4)
になります。

ここで、a+5bの最大値を調べると、それは、a=4、b=1のときで、
4+5=9
です。

すると(4)から
10c=27-(a+5b)
   ≧27-9
   =18
で、c≧2です。

このとき、c≧3とすると、
a+5b+10c+50+200+500≧a+5b+30+50+200+500
                     =a+5b+780
                     >777
になり、「ちょうど777円を払う」ことができません。

したがって、c=2になります。

次に、c=2を(4)に代入して整理すると、
a+5b=7                          (5)
になります。

ここで、aの最大値を調べると、それは、a=4です。

すると、(5)から
5b=7-a
  ≧7-4
  =3
で、b≧1です。

このとき、b≧2とすると、
a+5b+20+50+200+500≧a+10+20+50+200+500
                    =a+780
                    >777
になり、「ちょうど777円を払う」ことができません。

したがって、b=1になります。

最後に、b=1を(5)に代入して整理すると、
a+5=7
から、a=2になります。

以上から、1円玉2枚、5円玉1枚、10円玉2枚、50円玉1枚、100円玉2枚、500円玉1枚を使って777円支払う場合が硬貨の合計枚数が最小になり、その合計枚数は 9枚 で、これが答えです。


長くなりましたが、やっていることは簡単です。

東久留米の学習塾学研CAIスクール 東久留米滝山校
http://caitakiyama.jimdo.com/
TEL 042-472-5533
コメント
この記事をはてなブックマークに追加

日本数学オリンピックの簡単な問題(125)

2017-04-24 13:44:27 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

午前中の少しの間、雲が切れて陽が射したのですが、昼過ぎから空全体を雲が覆って、どんよりとした天気になりました。予報では、これから晴れ間が戻るということなので、それを楽しみにしています。

さて、今回は2003年日本数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「次の条件をみたす2以上の整数nの最小値を求めよ。

 1からnまでのn個の整数をうまく一列に並べて、隣り合う2つの数の和がすべて平方数になるようにできる。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

n個の数を一列に並べて、隣り合う2つの数の和が平方数になるということは、列の両端にない数は、n以下でその数以外の少なくとも2個の数との和が平方数にならなければなりません。

一方、、列の両端の数は、n以下でその数以外の少なくとも1個の数との和が平方数にならなければなりません。

つまり、1からnまでの数で、その数以外の数と平方数になる相棒が1個のものが3組以上ある場合、条件を満たす並べ方はないことになります。

これに基づいて調べていきましょう。

まず、n≧2とすると、2以外で2との和が平方数になる最小の数は7なので、n≧7になります。

ここで、「1、2、3、4、5、6、7」の7個の数について、それらの数との和が平方数になる相棒を調べましょう。

1に対して、3
2に対して、7
3に対して、1、6
4に対して、5
5に対して、4
6に対して、3
7に対して、2
で、相棒が1個しかない数が6個なので、これらの7個の数は条件を満たしません。

ここで4と5に着目すると、それらの相棒はそれぞれ5と4だけであることから、n≧11でなければなりません。(5+11=16←平方数)

そこで、「1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11」の11個の数について、それらの数との和が平方数になる相棒を調べてみると、
1に対して、3、8
2に対して、7
3に対して、1、6
4に対して、5
5に対して、4、11
6に対して、3、10
7に対して、2、9
8に対して、1
9に対して、7
10に対して、6
11に対して、5
になり、相棒が1個しかない数が6個なので、これらの11個の数も条件を満たしません。

次に、11との和が平方数になる5以外の相棒を考えると、それは25-11=14です。

そこで、n=14として、「1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14」の14個の数について、それらの数との和が平方数になる相棒を調べてみると、
 1に対して、3、8
 2に対して、7、14
 3に対して、1、6、13
 4に対して、5、12
 5に対して、4、11
 6に対して、3、10
 7に対して、2、9
 8に対して、1
 9に対して、7
10に対して、6
11に対して、5、14
12に対して、4、13
13に対して、3、12
14に対して、2、11
になり、相棒が1個しかない数が3個なので、これらの14個の数も条件を満たしません。(しかし、相棒が1個の数が大分少なくなりました)

そこで、n=15として、「1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15」の15個の数について、それらの各数との和が平方数になる相棒を調べてみると、
 1に対して、3、8、15
 2に対して、7、14
 3に対して、1、6、13
 4に対して、5、12
 5に対して、4、11
 6に対して、3、10
 7に対して、2、9
 8に対して、1
 9に対して、7
10に対して、6、15
11に対して、5、14
12に対して、4、13
13に対して、3、12
14に対して、2、11
15に対して、1、10
になり、相棒が1個しかない数が2個になりました。

あとは、1から15までの数を条件に合うように並べることができればお仕舞いです。

相棒が1個の数8と9は列の両端になるので、
8、1、*、*、・・・、*、*、7、9
が確定です。

7の隣は2、2の隣は14、14の隣は11、11の隣は5、5の隣は4、4の隣は12、12の隣は13、13の隣は3、3の隣は6(1は使ってしまったので)、6の隣は10、10の隣は15、15の隣は1になるので、
8、1、15、10、6、3、13、12、4、5、11、14、2、7、9
となり、1から15までの数を上手く並べることができました。

したがって、整数nの最小値は 15 で、これが答えです。


楽しい問題です。

東久留米の学習塾学研CAIスクール 東久留米滝山校
http://caitakiyama.jimdo.com/
TEL 042-472-5533
コメント
この記事をはてなブックマークに追加

ジュニア数学オリンピックの簡単な問題(130)

2017-04-23 12:11:16 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

雲一つない青空で、快適な日曜日になりました。明日以降の天気は、週の半ばで少し崩れるようですが、気温は20℃前後と過ごしやすい日が続くようです。

さて、今回は2006年ジュニア数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「三角形ABCの内接円は辺AB、BC、CAとそれぞれ点D、E、Fで接している。∠BAC=70°のとき、∠DEFを求めなさい。」


▲問題図

です。

接弦定理を利用すれば簡単です。

図1のように、点Dと点Fを直線で結ぶと、△ADFは二等辺三角形で、その底角は等しいので、∠ADF=55°です。


▲図1.接弦定理を利用します

一方、接弦定理から∠ADF=∠DEFなので、∠DEF=55°になり、これが答えです。

円周角と中心角の関係を利用することもできます。

図2のように、△ABCの内接円の中心をOとし、点D、FとOをそれぞれ直線で結びます。


▲図2.円周角と中心角の関係を利用します

このとき、点D、Fは接点なので、∠ADO=∠AFO=90°で、四角形ADOFは円に内接します。

したがって、∠DOF=180°-∠DAF=180°-70°=110°です。(四角形の内角の和が360°を利用してもOKです)

ここで、∠DEFと∠DOFはそれぞれ弧DFの円周角と中心角なので、∠DEF=1/2∠DOFです。

以上から、∠DEF=1/2・110°=55°になります。


簡単な問題です。

東久留米の学習塾学研CAIスクール 東久留米滝山校
http://caitakiyama.jimdo.com/
TEL 042-472-5533
コメント
この記事をはてなブックマークに追加

ジュニア数学オリンピックの簡単な問題(129)

2017-04-22 12:51:04 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日の予報では、午後あたりから晴れそうだったのですが、どうやら今日は一日中曇りのようです。明日は西の高気圧が張り出してきて、いい天気になりそうです。

さて、今回は2006年ジュニア数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「下図においてABCDはAB=4、BC=5なる長方形であり、各辺上に等間隔に点が打たれている。四角形PQRSの面積を求めなさい。」

▲問題図

です。

長方形ABCDの面積から、四隅の直角三角形の面積を引いてもOKですが、ここは、点Qと点Sの横方向の位置が同じなので、等積変形を利用するのがよいでしょう。

そこで図1のように、点Pを点Aに、点Rを点Dに移動すると、
(△PQSの面積)=(△AQSの面積)
(△RQSの面積)=(△DQSの面積)
から、
(四角形PQRSの面積)=(△AQDの面積)
になります。


▲図1.点Pを点Aに、点Rを点Dに移動しました

ここで、△AQDの面積を計算してもよいのですが、折角ですからもう一度等積変形しましょう。

図2のように、点Qを点Bに移動すると、
(△AQDの面積)=(△ABDの面積)
で、△ABDの面積は長方形ABCDの面積の半分ですから、
(△ABDの面積)=5×4÷2=10
です。


▲図2.点Qを点Bに移動しました

したがって、四角形PQRSの面積は 10 になり、これが答えです。


簡単な問題です。

東久留米の学習塾学研CAIスクール 東久留米滝山校
http://caitakiyama.jimdo.com/
TEL 042-472-5533
コメント
この記事をはてなブックマークに追加

日本数学オリンピックの簡単な問題(124)

2017-04-21 12:04:12 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

前線を伴った南岸低気圧が太平洋岸から少し離れたところを移動していて、時々薄日が射すものの、空一杯に雲が広がる天気になりました。この低気圧は、明日には東に去ってしまうので、明日の午後には晴れ間が戻ってきて、快適な週末になるようです。

さて、今回は2006年日本数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「相異なる3つの正整数の組であって、どの2つの和も平方数になるようなもののうち、3数の和が最小になるものをすべて求めよ。ただし、「1と2と3」と「3と2と1」のように順番を並べ替えただけの組は同じものとみなす。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

3つの正整数を、x、y、z (0<x<y<z) とすると、
    (1)
で、
    (2)
です。

次に、(1)の辺々を足し合わせると、
    (3)
になります。

ここで、(1)と(3)から
    (4)
で、x、y、z が正整数になるのは、

かつ
A^2、B^2、C^2 がすべて偶数、または、偶数が1個と奇数が2個
の場合です。

以上の条件を整理すると、

を満たすとき、条件を満たす3つの正整数x、y、zが存在することになります。

ここから、[3]の条件で場合分けして調べていきます

●A^2、B^2、C^2 がすべて偶数の場合
まず、1から順にいくつかの平方数を書き上げると、
1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、・・・
です。

一方、(3)からx+y+z が最小になるのは、A^2+B^2+C^2 が最小になる場合で、したがって、上記した平方数の数列から[1][2][3]を満たすように3個の平方数を選び、それらの和を最小にすることになります。

まず、C^2 を4または16にすると、A^2 と B^2 を選ぶことができず、C^2 を36、64、100とすると、[2]を満たすA^2 とB^2 を選ぶことができません。

そこで、 C^2 を144にすると、A^2=64、B^2=100のとき、すべての条件を満たすことができ、このとき、(3)から、x+y+z=154 になり、これが最小になります。

●A^2、B^2、C^2 で、偶数が1個と奇数が2個の場合
C^2 を1または4にすると、A^2とB^2 を選ぶことができず、C^2 を9、16、25、36とすると、[2]を満たす A^2 と B^2 を選ぶことができません。

そこで、C^2 を49にすると、A^2=25、B^2=36のとき、すべての条件を満たすことができ、このとき、(3)から、x+y+z=55 になり、これが最小になります。

以上から、A^2=25、B^2=36、C^2=49のとき、x+y+z は最小値55になり、(4)から、x=6、y=19、z=30になります。

したがって、条件を満たす3つの正整数の組は (6,19,30) で、これが答えです。


楽しい問題です。

東久留米の学習塾学研CAIスクール 東久留米滝山校
http://caitakiyama.jimdo.com/
TEL 042-472-5533
コメント
この記事をはてなブックマークに追加

日本数学オリンピックの簡単な問題(123)

2017-04-20 12:29:22 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日、一昨日と比べて気温が下がり、20℃ちょっとの快適な暖かさになりました。空には雲が広がり、明日、明後日とぱっとしない空模様になりますが、日曜日は晴れになるようです。

さて、今回は2015年日本数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「正の整数に対して、次の操作を行うことを考える:

 1の位の数字を取り去り、それを4倍したものを加える。

たとえば、1234に操作を行うと123+16=139となり、7に操作を行うと28となる。

から始めて操作を10000回行った後に得られる数はいくつか。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

ここは漸化式を利用して、操作を式で表しましょう。


にn回の操作を行った後の数をAn、その一の位の数をBnとすると、
     (1)
です。

さらに(1)を
  (2)
と変形します。

ここで、(2)の両辺を39で割ったときの余りを調べると、
An+1を39で割ったときの余りと、4Anを39で割ったときの余りが等しくなることが判ります。

つまり、

なので、A10000を39で割ったときの余りは、

を39で割ったときの余りと等しくなります。

そこで、

を39で割った余りを計算しましょう。


なので、

を39で割った余りは、22・25=550を39で割った余りと等しくなり、550÷39=14・・・4から、4になります。

あとは、A10000≦39であれば、A10000=4に決まります。

(1)から

で、これらの辺々を足し合わせると、

になり、A10000≦39です。

以上から、

から始めて操作を10000回行った後に得られる数は で、これが答えです。


筋道は判りやすい問題です。

東久留米の学習塾学研CAIスクール 東久留米滝山校
http://caitakiyama.jimdo.com/
TEL 042-472-5533
コメント
この記事をはてなブックマークに追加

日本数学オリンピックの簡単な問題(122)

2017-04-19 13:15:23 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

予想最高気温が26℃と、昨日より幾分下がり、5から6月の陽気になりました。明日以降はしばらくの間、20℃前後で落ち着くようで、普通の春の日が戻ってくるようです。

さて、今回は2005年日本数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「50以下の正整数nで次の条件をみたすものはいくつあるか。

をみたす0以上の整数a、bがただ1組存在する。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

与えられた式の左辺を因数分解すると、
(a+b)(a-b)=n         (1)
で、このとき、
a+b≧a-b             (2)
です。

ここで、a+bが奇数の場合、aとbは一方が偶数、他方が奇数ですから、a-bは奇数になります。

一方、a+bが偶数の場合、aとbがともに偶数、または、aとbがともに奇数ですから、a-bは偶数になります。

つまり、a+bとa-bの偶奇が一致することが判りました。

そこで、ここから、a+bとa-bが奇数と偶数の2つの場合に分けて調べます。

●a+bとa-bが奇数の場合 (⇒nは奇数になります)
・ nが合成数のとき、nは3個以上の約数を持つので、(1)と(2)を満たすa+bとa-bの組合せは2個以上になります。

つまり、aとbの組合せも2個以上になるので、「a、bがただ1組存在する」という条件を満たしません。

・ nが合成数でない場合、つまり、1または奇素数の場合、(1)と(2)を満たすa+bとa-bの組合せは1個で、aとbの組合せも1個になり、条件を満たします。

したがって、n=1、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47の15個が条件を満たします。

●a+bとa-bが偶数の場合
a+bとa-bが2の倍数なので、nは4の倍数になります。

そこで、
a+b=2(a’+b’)
a-b=2(a’-b’)
n=4n’  (1≦n’≦12)←n’は奇数でも偶数でもOKです
とし、これらを(1)に代入すると、
(a’+b’)(a’-b’)=n’     (3)
で、このとき、
a’+b’≧a’-b’          (4)
です。

・ n’が合成数の場合、n’は3個以上の約数を持つので、(3)と(4)を満たすa’+b’とa’-b’の組合せは2個以上になります。

つまり、a’とb’の組合せは2個以上、すなわち、aとbの組合せも2個以上になるので、これは条件を満たしません。

・ n’が合成数でない場合、つまり、1または素数の場合、(3)と(4)を満たすa’+b’とa’-b’の組合せは1個で、a’とb’の組合せは1個、すなわち、aとbの組合せも1個になり、これは条件を満たします。

したがって、n’=1、2、3、5、7、11、つまり、n=4、8、12、20、28、44の6個が条件を満たします。

以上から、条件を満たすnの個数は、15+6= 21個 で、これが答えです。


筋書きは簡単ですが、面白い問題です。

東久留米の学習塾学研CAIスクール 東久留米滝山校
http://caitakiyama.jimdo.com/
TEL 042-472-5533
コメント
この記事をはてなブックマークに追加

ジュニア数学オリンピックの簡単な問題(128)

2017-04-18 13:10:35 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨夜のしっかりした雨は今朝には上がっていて、昼前には雲の間から晴れ間が見られるようになりました。これから晴れ間がひろがり、最高気温は28℃に達するようです。

さて、今回は2003年ジュニア数学オリンピック予選に出題された場合の数の問題を取り上げます。

問題は、
「正4面体ABCDがある。頂点Aからアリが辺をつたって進み、残りの3つの頂点をちょうど1回ずつ経由して、頂点Aに戻ってくる。このような進み方は何通りあるか。」


▲問題図

です。

全ての経路を書き上げると、
(1) A→B→C→D→A
(2) A→B→D→C→A
(3) A→C→B→D→A
(4) A→C→D→B→A
(5) A→D→B→C→A
(6) A→D→C→B→A
で、答えは 6通り です。

計算で答えを求めるには、頂点Aの次に通る頂点は3通り、次の頂点は2通り、さらに次の頂点は1通り、最後に頂点Aに戻るのは1通りで、これらを掛け合わせて、
3×2×1×1=6通り
になります。

ついでに、下図のような正4面体を2つ組み合わせた図形で調べてみましょう。


▲図.正4面体を2つ組み合わせた図形で調べます


この場合、頂点Eから頂点Aに直接戻ることができないので、(1)から(6)の経路の2番目または3番目の→の後に頂点Eがこなければなりません。

したがって、経路は6×2=12通りです。

計算で答えを求めてみましょう。

頂点Aから次に通る頂点は3通りで、次に頂点Eに進む場合とそうでない場合で場合分けをします。

●頂点Eに進む場合
2番目の頂点から頂点Eに進むのは1通り、次の頂点は2通り、さらに次の頂点は1通り、最後に頂点Aに戻るのは1通りで、この場合の経路は、
3×1×2×1×1=6通り
です。

●頂点E以外に進む場合
2番目の頂点から頂点E以外に進むのは2通り、次は頂点Eに進むので1通り、さらに次の頂点は1通り、最後に頂点Aに戻るのは1通りで、この場合のの経路は、
3×2×1×1×1=6通り
です。

したがって、すべての経路は、
6+6=12通り
になります。


簡単な問題です。

東久留米の学習塾学研CAIスクール 東久留米滝山校
http://caitakiyama.jimdo.com/
TEL 042-472-5533
コメント
この記事をはてなブックマークに追加

日本数学オリンピックの簡単な問題(121)

2017-04-17 13:13:53 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

朝の晴れ間は昼過ぎにはすっかり雲で覆われて、しばらくしたら雨が降りそうな天気です。明日の予報は、雨のち曇りで、明後日は快晴になるようです。

さて、今回は2014年日本数学オリンピック予選に出題された計算問題を取り上げます。

問題は、
「a+b+c=5をみたす非負整数の組(a,b,c)すべてについて

を足し合わせたものを計算せよ。ただし、解答は演算子を用いず数値で答えること。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

a+b+c=5をみたす非負整数の組は、
(5,0,0)、(4,1,0)、(3,2,0)、(3,1,1)、(2,2,1)
の並び替えになります。

したがって、求める値は、
  (★)
です。

そこで、






を(★)に代入すると、
(★)= 3・17・13・7・4
    +6・17・7・5・4・17
    +6・17・8・5・17・8
    +3・17・8・5・17・17
    +3・17・8・17・8・17
   =  18564
    +242760
    +554880
    +589560
    +943296
   =2349060
で、これが答えです。

格子点での最短経路の場合の数の計算方法を応用すると、問題の式は、(0,0)から(46,5)に最短距離で進む場合の数になるので、

と計算することもできます。


簡単な問題です。

東久留米の学習塾学研CAIスクール 東久留米滝山校
http://caitakiyama.jimdo.com/
TEL 042-472-5533
コメント
この記事をはてなブックマークに追加

日本数学オリンピックの簡単な問題(120)

2017-04-16 14:11:00 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

朝のラジオで6月の陽気と言っていたように、まさに初夏のような天気になりました。明日は晴れのち雨ですが、気温は20℃を下回ることはないようで、暖かい日が続きます。

さて、今回は2000年日本数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、


を41で割った余りを求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。


から
   (★)
です。

(★)の右辺を41で割った余りは、40から21までの整数を41で割った余りの積を41で割った余りと等しくなるので、
(40・39・38・・・22.21を41で割った余り)=((-1)・(-2)・(-3)・・・(-19)・(-20)を41で割った余り)
                            =(1・2・3・・・19・20を41で割った余り)
                            =(21!を41で割った余り)
になります。(合同式を使うほうが判りやすいです)

したがって、

を41で割った余りは21!を41で割った余りと等しく、21!と41は互いに素なので、

を41で割った余りは で、これが答えです。

他の解き方としては、例えば(★)の右辺を

とします。

続いて、この右辺の各整数を41で割った余りの積を作ると、

です。

さらに、右辺の整数を適当に組み合わせて、それらを41で割った余りの積を作ることを繰り返して余りを求めることができます。


簡単な問題です。

東久留米の学習塾学研CAIスクール 東久留米滝山校
http://caitakiyama.jimdo.com/
TEL 042-472-5533
コメント
この記事をはてなブックマークに追加

日本数学オリンピックの簡単な問題(119)

2017-04-15 12:04:58 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

少し強い南風が吹いていて、最高気温の予想が24℃と昨日に比べて急上昇です。明日はさらに上がって夏日の予報です。暖かく過ごしやすい週末になるようです。

さて、今回は2004年日本数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「平面上に三角形ABCがあり、AB=16、BC=5√5、CA=9である。三角形ABCの外部で、点Bと点Cの少なくとも一方からの距離は6以下であるような部分の面積を求めよ。」
です。

早速、図1のように、問題の図を描きましょう。


▲図1.問題の図を描きました

図1で赤色でマークした部分の面積を求めることになります。

ここで図2のように、△ABCの外接円を描いてみると、どうやら点Dはその周上にありそうです。


▲図2.△ABCの外接円の周上に点Dがありそうです

もし、△ABCの外接円の周上に点Dがあると、四角形ABDCは円に内接する四角形になります。

すると、∠ABD+∠ACD=180°になり、扇形BDEと扇形CDFの面積の和(図2の赤色マーク部分)は、半径6の円の面積の2倍から、半径6で中心角が180°の扇形の面積を引いたものになります。

したがって、求める面積は、扇形BDEと扇形CDFと△BCD(紫色のマーク部分)の和になり、簡単に計算できそうです。

そこで、問題は四角形ABDCが円に内接するかということになるわけですが、これは三角関数の余弦定理を利用すれば簡単に示すことができます。

しかし、ここでは余弦定理を使わず、ヘロン公式とトレミーの定理を利用して調べてみます。

図3のように、点Aと点Dから直線BCに下ろした垂線の足をそれぞれGとHとします。


▲図3.点Aと点Dから直線BCに下ろした垂線の足をそれぞれGとHとします

直角三角形ABGと直角三角形ACGに三平方の定理を適用すると、
    (1)

    (2)
を得ます。

(1)-(2)から

で、これと(2)から

です。

したがって、

です。

次に、直角三角形CDHに三平方の定理を適用すると、

で、

です。

したがって、
    (3)
です。

以上から、

になります。

続いて図4のように、AD=xとして、ヘロンの公式を使って四角形ABDCの面積を表すと、


から、
    (4)
です。


▲図4.AD=xとして、ヘロンの公式を使って四角形ABDCの面積を表します

ここで、(3)と(4)からxを求めたいのですが、かなり難しそうです。

そこで、四角形ABDCが円に内接しトレミーの定理が成り立つとして、それからxを計算し、それを(4)の右辺に代入して四角形ABDCの面積が(3)と一致するかを調べることにしましょう。

トレミーの定理から
AB・CD+AC・BD=AD・BC
とし、AB=16、CD=6、AC=9、BD=6、AD=x、BC=5√5を代入して、

です。

これを(4)の右辺に代入すると、

になり、(3)と一致しました。

したがって、四角形ABDCは円に内接することが判りました。

あとは上記したように、求める面積Sを計算すると、

で、これが答えです。


四角形ABDCが円に内接することに気がつけば簡単な問題です。

東久留米の学習塾学研CAIスクール 東久留米滝山校
http://caitakiyama.jimdo.com/
TEL 042-472-5533
コメント
この記事をはてなブックマークに追加

平成29年度都立高校入試問題(13)【国立高】

2017-04-14 14:05:55 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

少し風があるものの、強い陽射しで、暖かい日になりました。明日はさらに気温が上がり、明後日には夏日になるようです。



さて、今回は平成29年度都立高校数学入試問題を取り上げます。

問題は、国立高で出題された大問2の関数とグラフの問題で、それは、
「下の図1で、点Oは原点、曲線 f は関数y=k/x (ただし、k>0) のx>0の部分のグラフを表している。


▲図1.問題図(1)

次の各問に答えよ。

[問1] kは1桁の正の整数とする。曲線 f 上にある点(1,k)のように、x座標と y座標がともに正の整数である点が(1,k)以外に1つだけあるようなkの値は何通りあるか。

[問2] 下の図2は、図1において、曲線 f 上にあり x座標が y座標より大きい点をA、曲線 f 上にあり x座標が点Aの x座標より小さい点をBとした場合を表している。


▲図2.問題図(2)

次の(1)、(2)に答えよ。

(1) 下の図3は、図2において、2点A、Bを通る直線と x軸との交点をCとした場合を表している。


▲図3.問題図(3)

      点Aの y座標が2/3、点Bの x座標が2、

BA:AC=2:1であるとき、2点A、Bを通る直線の式を求めよ。
ただし、答えだけでなく、答えを求める過程が分かるように、途中の式や計算なども書け。

(2) k=6とする。下の図4は、図2において、点Bを通りy軸に平行な直線と、x軸の交点をDとし、点Aと点B、点Aと点Dを結んだ場合を表している。


▲図4.問題図(4)

点Aの x座標と点Bの y座標が等しく、△ABDの面積が3cm2であるとき、点Aの座標を求めよ。
ただし、原点から点(1,0)までの距離、および点(0,1)までの距離をそれぞれ1cmとする。」
です。

まず、[問1]です。

y=k/xから、xy=kで、1≦k≦9 (kは整数)なので、
1≦xy≦9
です。

このとき、x、yは正の整数なので、xとyはkの約数になり、約数xとyの組合せが2個になるのは、kが素数の場合です。

したがって、k=2、3、5、7の場合で、答えは 4通り です。

次に[問2]の(1)です。

図5のように、A、Bの座標はそれぞれ(3k/2,2/3)、(2,k/2)です。


▲図5.A、Bの座標は、それぞれ(3k/2,2/3)、(2,k/2)です

BA:AC=2:1からBC:AC=3:1なので、点BとAの y座標の比は3:1になります。

つまり、
k/2:2/3=3:1
が成り立ち、
k=4
です。

これから点AとBの座標は、それぞれ(6,2/3)、(2,2)になります。

直線ABの式をy=px+qとし、これが点A、Bを通ることから、
2/3=6p+q
2=2p+q
が成り立ちます。

この連立方程式を解いてp、qを計算すると、
p=-1/3
q=8/3
になり、2点A、Bを通る式は、

で、これが答えです。

最後の[問2]の(2)です。

図6のように、点Aのx座標を t とおくと、y座標は6/tで、点Aの x座標と点Bの y座標が等しいので、点Bの y座標は6/tで、x座標は6/tになります。


▲図6.点Aの x座標を t とおいて、点AとBの座標を t で表しました

このとき、点Aから直線BDにおろした垂線の足をHとすると、
(△ABDの面積)=BD×AH×1/2
で、BD=t、AH=t-6/tなので、

になり、これが3cm2になるので、


から

です。

したがって、点Aの座標は、

で、これが答えです。


簡単な問題です。

東久留米の学習塾学研CAIスクール 東久留米滝山校
http://caitakiyama.jimdo.com/
TEL 042-472-5533
コメント
この記事をはてなブックマークに追加

日本数学オリンピックの簡単な問題(118)

2017-04-13 13:29:02 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日の風も治まり、過ごしやすい春の陽気になりました。明日から連日20℃超の日が続くようなので、朝、近所のスーパーで発泡酒を買って冷蔵庫に入れてきました。準備万端です。

さて、今回は2004年日本数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「りんごの10個入った箱と6個入った箱がそれぞれいくつかある。りんごが合計で38個入っているとき、箱は合わせていくつあるか。」
です。

簡単な中学入試問題のようです。

りんごが10個入った箱をx個、6個入った箱をy個として立式すると、
10x+6y=38
になり、これを2で割って、
5x+3y=19     (1)
として、この1次不定方程式の非負整数解から2つの箱の個数の合計x+yを求めることになります。

(1)を
5x=19-3y     (2)
と変形すると、左辺は5の倍数なので、右辺も5の倍数になります。

このとき、x,y≧0なので、0≦x≦3、0≦y≦6で、(2)の右辺が5の倍数になるのはy=3のときだけです。

そこで(2)の右辺にy=3を代入すると、
5x=19-3×3=10
になり、
x=2
です。

したがって、
x+y=2+3=5
から、2つの箱の個数の合計は 5箱 で、これが答えです。

他の解き方として、(1)の両辺を3で割った余りを調べる方法もあります。

(1)の左辺を3で割ると、その余りは5xを3で割った余りになります。

このとき、0≦x≦3なので、5xを3で割った余りは、
x=0のとき、0
x=1のとき、2
x=2のとき 1
x=3のとき 0
です。

一方、(1)の右辺を3で割った余りは1ですから、(1)の左辺と右辺を3で割った余りが等しくなるのはx=2のときです。

あとは、(1)とx=2からy=3を計算して、x+y=5になります。


簡単な問題です。

東久留米の学習塾学研CAIスクール 東久留米滝山校
http://caitakiyama.jimdo.com/
TEL 042-472-5533
コメント
この記事をはてなブックマークに追加

平成29年度都立高校入試問題(12)【国立高】

2017-04-12 14:10:55 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

午前中には少し強い北風が吹いていましたが、その風も冷たくはなく、冬将軍は遠くに行ってしまったようです。昼過ぎには風も治まって、春らしい過ごしやすい日になりました。明日は少し気温が下がりますが、明後日から暖かい日が続きます。

さて、今回は平成29年度都立高校数学入試問題を取り上げます。

問題は、国立高で出題された大問4の立体図形問題で、それは、
「下の図1に示した立体ABCDE-FGHIJは、AB=AE=5cm、BC=ED=8cm、CD=6cm、∠BCD=∠CDE=90°、AF=6cmで、側面がすべて長方形の五角柱である。
辺BG、辺EJ上の点をそれぞれK、Lとする。


▲図1.問題図(1)

次の各問に答えよ。

[問1] 下の図2は図1において、辺AF上の点をPとし、点Pと点K、点Pと点Lをそれぞれ結んだ場合を表している。
     BK=JL=1cm、l=PK+PLとする。
     l が最もちいさくなるとき、l は何cmか。


▲図2.問題図(2)

[問2] 下の図3は図1において、辺FG、辺FJの点をそれぞれM、Nとし、MG=NJ、GK=JLである場合を表している。
     KC:BC=13:12、GK:GM=4:5のとき、四角形KLNMの面積は何cm2か。
     ただし、答えだけでなく、答えを求める過程がわかるように、図や途中の式などもかけ。


▲図3.問題図(3)

[問3] 下の図4は図1において、5点F、K、C、D、Lが同じ平面上にある場合を表している。
     6点A、B、E、F、K、Lを頂点とする立体AF-BELKの体積は何cm3か。」


▲図4.問題図(4)

です。

早速、図5のように、与えられた条件を書き入れましょう。


▲図5.与えられた条件を書き入れました(側面はすべて長方形です)

それでは[問1]です。

図6に示した、線分PKと線分PLの長さの和の最小値を求める問題です。


▲図6.線分PKと線分PLの和の最小値を求めます

図7のように、面ABGFと面AEJFを広げて一つの平面にしたときの線分KLの長さが l の最小値になります。


▲図7.面ABGFと面AEJFを一つの平面にして、点Kと点Lを直線で結びました

図7で、KQ=10cmです。

また、点Kから辺EJに下ろした垂線の足をQとすると、LQ=6-1-1=4cmです。

そして、△KLQに三平方の定理を適用して、
KL^2=KQ^2+LQ^2
で、KQ=10cm、LQ=4cmを代入して、
KL^2=10^2+4^2
   =100+16
   =116
から
KL=√116
  =2√29cm
になります。

したがって、l が最も小さくなるとき、l は 2√29cm で、これが答えです。

次に[問2]です。

四角形KLNMは、図8(右側の図)の直線STを対称軸とする線対称図形なので、台形になります。したがって、その面積を計算するためには、上底MN、下底KL、高さSTの長さを求めればOKです。


▲図8.四角形KLNMは台形なので、上底MN、下底KL、高さSTの長さを求めて面積を計算します

初めに上底MNの長さを求めましょう。

△BCKは直角三角形なので、KC:BC=13:12から、KB:BC=5:12になります。

したがって、KB=10/3cmで、GK=6-10/3=8/3cmになります。

さらに、GK:GM=4:5から、GM=5/4・GK=10/3cmです。

次に図8(左上側)のように、△FGJに注目すると、FM=FG-GM=5-10/3=5/3cmで、FG:FM=5:5/3=3:1です。

このとき、△FGJ∽△FMNなので、GJ:MN=FG:FM=3:1で。GJ=6cmから、MN=2cmです。(上底の長さが判りました)

続いて、下底KLの長さですが、これはは線分CDの長さと等しいので、KL=6cmです。

最後に、高さSTを求めましょう。

図8(左上側)の△FGRに注目すると、FG=5cm、GR=3cmなので、FR=4cmになります。

また、FR:SR=3:2から、SR=2/3・FR=8/3cmです。

ここで、図8(左下図)の△SRTに注目すると、SR=RT=GK=8/3cm、∠SRT=90°なので、ST=8√2/3cmです。(高さが判りました)

以上から、
(四角形KLNMの面積)=(MN+KL)×ST×1/2
               =(2+6)×8√2/3×1/2
               =8×8√2/3×1/2
               =32√2/3 cm2
で、これが答えです。

最後の[問3]です。

図9のように、辺CDの中点をUとして、△AFUを作ります。


▲図9.△AFUを作りました

ここで、線分KLの中点をVとすると、点Vは、5点F、K、C、D、Lで作られる平面上にあり、辺FU上にあり、線分BEの中点Wは辺AU上にあります。

したがって、△AFU∽△WVUからAF:AU=WV:WUが成り立ち、ここに、AF=6cm、AU=4+8=12cm、WU=8cmを代入して、
6:12=WV:8
WV=4cm
です。

また、辺AF上に頂点Aからの長さが4cm(線分WVの長さ)にある点をXとすると、立体AF-BELKは、三角錐F-XKLと三角柱ABE-XKLに分けることができるので、(立体AF-BELKの体積)=(三角錐F-XKLの体積)+(三角柱ABE-XKL)になります。

そして、
(三角錐F-XKLの体積)=(△XKLの面積)×FX×1/3
                =6×4×1/2×(6-4)×1/3
                =8cm3
(三角柱ABE-XKLの体積)=(△XKLの面積)×AX
                  =6×4×1/2×4
                  =48cm3
から、
(立体AF-BELKの体積)=8+48
                 =56 cm3
になり、これが答えです。


簡単な問題です。

東久留米の学習塾学研CAIスクール 東久留米滝山校
http://caitakiyama.jimdo.com/
TEL 042-472-5533
コメント
この記事をはてなブックマークに追加