東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

複2次方程式の解き方(数2)

2017-06-25 11:29:20 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

これまでに少し取り上げてきたように、高2の塾生が高次方程式の演習をしていて、そのなかに複2次方程式がありました。

複2次方程式というのは、

という形をしたもので、これは

とおき、

と、Xの2次方程式にして、これを解の公式で解けばお仕舞いです。

例えば、

の場合、

とおくと、与えられた2次方程式は、

になり、

で、

が解になります。

また、与えられた方程式を

と因数分解して解くこともできます。

これは方程式の定数項が平方数の場合に特に有効で、例えば、

を前者の方法で解くと、途中で2重根号が現われるのに対して(2重根号を外すのは簡単ですが)、後者の方法では、

になり、これらの2つの2次式を解の公式で解くことで、2重根号を回避することができます。

複2次方程式の定数項が平方数の場合、これを試してみるのもいいかもしれません。

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coffee のはなし

2017-06-24 12:12:04 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

先日、tea について取り上げましたが、(red tea のはなし) 今回はコーヒー(coffee)の話です。

英国では、ミルク入りのコーヒーを coffee with milk と言いますが、米国では、coffee with cream と言います。

実際に、ウィズダム英和辞典の例文には、 
have [drink] a cup of coffee with cream (and sugar) 
とあり、オックスフォード現代英英辞典の説明には、 
a hot drink made from coffee powder and boiling water. It may be drunk with milk and/or sugar added 
とあります。

さらに米国では、コーヒーに入れるミルクの量により、ミルクの量が少ない順に、
black、dark、regular、light、white 
と分類され、regular では、一人用のミルク・ピッチャー(およそ10mL)で1杯分、white では2杯以上だそうです。

今日は土曜日なのですが、期末試験直前とあって、中学の塾生たちが来たのでこれでお仕舞いです。

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3次方程式の問題(数2)

2017-06-23 11:42:03 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨夜、時間切れで手がつけられなかった高2の塾生の学校の演習課題を取り上げます。

それは、


を解とする3次方程式

の係数a、bとその他の解を求めなさい。」
というもので、解法は、
[1]解1-iを与えられた方程式に代入・整理し、実数部と虚数部を0とするa、bの連立方程式をつくり、a、bを求める方法
と、
[2]与えられた解の共役複素数も解になることからそれらの2つの複素数を解にもつ2次方程式を求めた後、係数を比較してa、bを求める方法
があります。

まず、[1]を調べていきましょう。


を3次方程式に代入し、実数部と虚数部に分けて整理すると、

になります。

これから、
b-4=0
2a+b+2=0
が成り立つので、これらをa、bについて解くと、
a=-3
b=4
で、与えられた3次方程式は、

になります。

次に、

と置くと、f(1)=0なので、因数定理から、

です。

ここで、

を解の公式で解くと、

になります。

以上から、a=-3、b=4で、他の解は、1+i になります。

続いて[2]を調べてみましょう。

与えられた3次方程式の1つの解が 1-i なので、その共役複素数である 1+i も3次方程式の解になります。

一方、1±i を解とする2次方程式は、解と係数の関係から、xの項の係数は-((1+i)+1-i)=-2、定数項は、(1+i)(1-i)=2なので、

です。

したがって、与えられた3次方程式は、

と表すことができ、この右辺を展開すると、

になります。

そこでこれらの係数を比較して、
a=-2-c
b=2+2c
-2=-2c
から、
a=-3
b=4
c=1
なります。

以上から、a=-3、b=4で、他の解は、1+i になります。

どちらの解き方でもOKですが、[1]の場合は注意して複素数の計算をしましょう。

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少し複雑な等式の変形(中2)

2017-06-22 12:43:11 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

先日取り上げた「等式の変形」で、塾生が少し複雑な問題を演習していたのでそれを取り上げます。(とは言っても中学校の傍用問題集にあるレベルの問題です)

問題は、


を x について解きなさい」
で、両辺に x があるのでこれらをまとめなければなりません。
(両辺を b で割って、

とすると、両辺に x があるので誤答になります)

問題に取り掛かる前に、先日紹介した「等式の性質」と実際のハンドリング規則を再掲します。

中1で勉強した「等式の性質」は、
[1] 等式の両辺に同じ数や式を加えても、等式は成り立つ
[2] 等式の両辺から同じ数や式をひいても、等式は成り立つ
[3] 等式の両辺に同じ数をかけても、等式は成り立つ
[4] 等式の両辺を0でない同じ数でわっても、等式は成り立つ
[5] 等式の両辺を入れかえても、等式は成り立つ

で、
実際にハンドリングするときの規則は、

<1> 移項(項を等号をまたいで移動させる)とき、その項の符号を反転させる
<2> 1つの項を構成する文字を等号の反対側に移動する場合、
    ・その文字が元の項の分子にあるとき、移動先の分母にかける
    ・その文字が元の項の分母にあるとき、移動先の分子にかける

です。

それでは問題に取り掛かりましょう。

① 与えられた等式の両辺を x で割ります。 ←[4]


② 分配法則を使って左辺を変形します


③ 左辺の -a を右辺に移項します ← <1>


④ 左辺の x を右辺に、右辺の a+b を左辺に移動させます ← <2>


⑤ 両辺を入れかえてお仕舞いです ← [5]


他の手順もあるので調べてみてください。

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因数定理を利用した3次方程式の解き方(数2)

2017-06-21 12:27:05 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

高2の塾生が因数定理の単元で、それを利用した3次式の因数分解や3次方程式を解く演習に取り組んでいました。

例えば、

という3次方程式の解を求める場合、

として、もしf(α)=0となる有理数αがあるならば、それは定数項-6の約数になります。

つまり、αの候補は、±1、±2、±3、±6で、これらを片っ端にf(x)に代入し、その値が0になるか調べることになります。

その結果、

と判り、与式の左辺は、

と因数分解できるので、与えられた3次方程式の解は、

になります。(1つの解を見つけ3次式を2次式にし、それを因数分解または解の公式で残りの2つの解を求めるのが一般的です)

さらに3次の項の係数が1でない場合、例えば、

では、

で、g(α)=0となる有理数αの候補は、

になります。

つまり、αの候補は、±1、±3、±1/2、±3/2、±1/3、±1/4、±3/4、±1/6、±1/12で、これらのなかからg(x)=0とするものを探すことになります。

この場合、

と判り、与式の左辺は、

と因数分解できるので、与えられた3次方程式の解は、

なります。


計算ミスしないように落ち着いて扱えば簡単です。

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red tea のはなし

2017-06-20 13:08:22 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨夜、高2の塾生が読んでいた英文は、「同じものの表し方でも、言語によって異なっているものがある」という内容で、例えば、欧米では 「紅茶」 のことを red tea ではなく tea または black tea と言う、などの具体例で説明していました。

確かに 「現代英語語法辞典」 で tea を引いてみると、
「英国や米国で単に tea と言えば紅茶を指し、 green tea(緑茶)などと区別する場合は特に black tea と言う」
とあります。

そこで、もう少し red tea を調べていると、Red tea: One Name and Two Very Different Teas” という記事が目につき、そこには、
“The term “red tea” has two very different meanings. In many parts of the world, it is used to describe to rooibos tea. Yet, it is also the traditional name for black tea in countries like China.”
red tea という用語は、2つのまったく異なる意味を持っている。世界の多くの地域では、それはルイボス茶を表すのに用いられるが、中国のような国々では、black tea を表す伝統的な名前でもある)
あります。

ここにあるルイボス茶というのは南アフリカ原産の植物の葉を乾燥させたもので、英国では、 redbush tea、 South African red tea、 red tea と呼ぶようです。

また、COCAをあたってみると、ウーロン茶を意味する言葉として使っている用例もいくつかありました。

日本人がイギリスの喫茶店で red tea を注文すると、 ・日本人が red tea と言っているのを察して black tea が出てくるのか、 ・ black tea かどうかを確認するのか、 ・ルイボス茶があれば(普通の喫茶店にはなさそうな気がしますが)それが出てくるのか、はたまた  ・ウーロン茶が出てくるのか、ちょっと興味深いですね。

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等式の変形(中2)

2017-06-19 12:22:23 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

近々始まる中学期末試験の中2数学の試験範囲に「等式の変形」が含まれますが、これを難しく感じる生徒も少なくないようです。

そこで今回は「等式の変形」について取り上げたいと思います。

「等式の変形」は中1で勉強した次の「等式の性質」の規則
[1] 等式の両辺に同じ数や式を加えても、等式は成り立つ。
[2] 等式の両辺から同じ数や式をひいても、等式は成り立つ。
[3] 等式の両辺に同じ数をかけても、等式は成り立つ。
[4] 等式の両辺を0でない同じ数でわっても、等式は成り立つ。
[5] 等式の両辺を入れかえても、等式は成り立つ。
に従って等式をハンドリングすれば正解することができます。


例えば、教科書に掲載されている


を a について解きなさい」
という問題では、

(1) 与式の両辺に2をかける ←[3]


(2) 両辺から b をひく ←[2]


(3) 両辺を入れかえる ←[5]

と変形して正解を導くことができます。

そしてこの取り扱いに慣れたら、次のルールに従うと迅速なハンドリングができます。

<1> 移項(項を等号をまたいで移動させる)とき、その項の符号を反転させる
<2> 1つの項を構成する文字を等号の反対側に移動する場合、
    ・その文字が元の項の分子にあるとき、移動先の分母にかける
    ・その文字が元の項の分母にあるとき、移動先の分子にかける


先程の例題で実際にやってみると、
(1) 与式を

と考えて、右辺の分母の2を左辺に移動させるので、左辺の分子に2をかける ←<2>


(2) 右辺の b を左辺に移項する ←<1>


(3) 両辺を入れかえる ←[5]

になります。


慣れてしまえば簡単です。中学生の皆さん、期末試験がんばってください。

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大鏡 「弓争い」

2017-06-18 12:58:48 | 国語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

先日、高2の塾生に高校の古典の授業で何を読んでいるのが尋ねたところ、大鏡の 「弓争い」 とのことでした。

大鏡は大学入試に頻出ということもあって、高校のころから馴染んでいて、今でも枕元に新潮社の 「新潮日本古典集成 大鏡」 が置いてあって、寝る前にちょくちょくそれを開いています。

弓争い」 は、内大臣藤原伊周(これちか)とその叔父道長の弓競技会での様子を描いたものです。

このなかで道長は、 「道長が家より、帝・后たちたまうべきものものならば、この矢あたれ」 と言って矢を射たところ、的のど真ん中に命中し、続く伊周は、すっかり気後れし手も震えてしまったため、的を大きく外してしまいます。

さらに二本目の矢を射る道長は、 「摂政・関白すべきものならば、この矢あたれ」 と言って矢を射たところ、またもや的のど真ん中に当たり、このとき伊周の父道隆は、二本目の矢を射ようとする伊周に、 「何か射る、な射そ、な射そ」 と制止し、座が白けてしまった、という逸話です。

伊周は正暦5年(994)に21歳で、29歳の道長を超えて内大臣に昇進し、翌年には父道隆に代わり関白職を代行しますが、疫病で道隆が没したのち、道長の妹で一条天皇の生母詮子の支持などで、道長が内覧(のちに摂政)になり、藤原氏の氏長者争いに勝利します。(二本目の矢の通りになりました/大鏡が後で書かれているので当然ですが)

さらに道長は、娘4人を皇后や皇太子妃(一条后彰子、三条后姸子、後一条后威子、後朱雀妃嬉子)とし(一本目の矢の通りになりました)、大きな権力を握ります。

大鏡には、他にも多くの面白い話が書かれています。興味のある人は手にとってみてください。

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“take a bath” のはなし

2017-06-17 12:30:31 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中学校ではあと1週間ちょっとで期末試験が始まりますが、その準備で中2の塾生が教科書に準拠したワークに取り組んでいたところ、そのなかの穴埋め問題に、
「あなたは昨夜の10時に、入浴していましたか。
(   ) you (   ) a bath at ten last night? 」
というものがありました。

正解は、
Were you taking a bath at ten last night?
なのですが、塾生の答えは、
Were you in a bath at ten last night? で、これでも意味は判るので、この用法があるか辞書やコーパスで調べてみました。

ウィズダム英語辞典には、
be in the bath [(米)bathtub]” で、「入浴中である」とあり、
オックスフォード現代英英辞典には、
I’m in the bath という用例があるので、冠詞が the であれば、in で良さそうです。

そこでBNCのコーパスで in the bath と in a bath を検索してみると、前者は、
Mr.Mounce is away,if Mrs.Mounce is in the bath their flat must be empty, and she’s probably left the door open.
などの用例がそれなりの数ヒットしましたが、後者では、
I don’t want to be in a bath with him, imagine, well embarrassing it would be the worst thing.
という会話だけしか見つけることができませんでした。

ということで、冒頭の穴埋め問題で in は無理そうです。

また、アメリカ英語の take a bath をイギリス英語では have a bath と言うので、 having も可なのですが、教科書にないので避けておくほうが良いでしょう。(多くの先生は×にすると思います)

中学生の皆さん、期末試験がんばってください。

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come *** with の形をしたイディオム

2017-06-16 13:51:07 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

先日、高1の塾生が英語の予習をしていたとき、“come up with A” というイディオムが出てきました。

塾生は忘れてしまっていたのですが、これは中3の教科書に、
“One scientist came up with an answer.” (ある科学者が答えを考えついた)
という英文で登場していて、塾生もこれを見て思い出したようでした。

この “come up with A” に似た “come *** with A” という形をしたイディオムはいくつかあるので、今回はウィズダム英和辞典に掲載されているものを紹介します。(例文は、オックスフォード現代英英辞典からの引用です)

● come across with A
《英・くだけて》(必要なときに) A<お金・情報など> を渡す, 出す
[例文] I hoped she’d come across with some more information.

● come away with A
(1)A<欲しかった物>を上手く手に入れる
(2)《くいだけて》(だしぬけに)A<言葉など>を言う

● come down with A
(1)《くいだけて》A(軽い病気)にかかる、感染する
(2)《ややくいだけて》(必要な時に)A<お金、情報など>を提供する
[例文] I think I’m coming down with flu.

● come forward with A
(1)A<考え・計画など>を提案する
(2)(正式に要請を受けて)A<お金>を提供する
[例文] Several people came forward with information.

● come out with A
(1)<会社が>A<製品>を製品化する、売り出す
(2)<人が>A<理論など>を発表する
(3)《くだけた話》(だしぬけに)A<滑稽な事、衝撃的な事>を言う
[例文] He came out with a stream of abuse.

さらに、“put up with” のように、“V up with A” という形をしたイディオムもあるので、調べてみるとよいでしょう。

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2次方程式の判別式と解と係数の関係(数2)

2017-06-15 12:23:45 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

高2の塾生が、2次方程式の判別式や解と係数の関係についての学校のプリントを予習していて、そのなかに次のような問題がありました。

「2次方程式

について、
(1) 2つの解がともに正であるためのaの範囲
(2) 1つの解だけが正であるためのaの範囲
を求めなさい。」
というものです。

初見だと難しいかもしれませんが、知ってしまうと簡単な話で、(1)については、
●判別式≧0
●与えられた2次方程式の解をα、βとしたとき、α+β>0、αβ>0
の条件でaの範囲を求めればOKです。

また(2)については、
●判別式>0
●解が0と正⇒α+β>0、αβ=0、または、解が正と負⇒αβ<0
の条件でaの範囲を求めることになります。(αβ<0の場合、判別式>0になるので、判別式>0の条件は不要です)

実際にやってみると、(1)は、





なので、aの範囲は、

です。

(2)は、

から



なので、aの範囲は、

です。

判別式と解と係数の関係を上手く利用して解きましょう。

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「いついつの~に」の表現

2017-06-14 13:48:05 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

前々回、未来進行形を取り上げたとき、
At this time tomorrow, I’ll be driving through Kabul.” (明日の今ごろはカブールを車で通り抜けているところだ)
という例文を挙げましたが(未来進行形のはなし)、今回はこのなかにある “at this time tomorrow” (明日の今ごろは)の類似表現を紹介します。

「表現のためのロイヤル英文法」には、覚えておくと便利な「いついつの~に」式の言い方がまとめてあって、
“at this time of the year” (1年の今ごろの時期に)
“(about) this time next week” (来週の今ごろに)
“this time next year” (来年の今ごろに)
“a week ago today” (先週の今日)
“today last week” (先週の今日)
“today (next) week” 《英》(来週の今日)
が挙げてあります。

他を当たってみると、ウィズダム英和辞典の “week” の項に、
“a week from today” (来週の今日)
“a week today” 《英》(来週の今日)
などがあります。

英語と米語で違っていて少しややこしそうです。

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連立方程式のはなし

2017-06-13 12:05:11 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中2の数学では連立1次方程式を勉強しているところです。

手元にある「モノグラフ公式集」の連立1次方程式の項を開いて見ると、
連立2元1次方程式の解法  1つの未知数を消去して1元1次方程式を導いて解く。消去の方法には、加減法・代入法・等値法がある。』
とあります。

加減法、代入法は教科書に載っているのでお馴染みですが、等値法というのはあまり耳にすることがありません。

そこで、公式集に挙げてある、これらの3つの方法の用例を紹介します。

例題の連立1次方程式は、

です。

初めに加減法では、①-②×3から、

で、xの値を求めることができました。

そして、これを②に代入すると、

で、

が答えになります。

次に代入法では、②から

で、③を①に代入して、

です。

そしてこれを整理すると、

になり、加減法での(★)と同じ式を導くことができました。あとは加減法で示した手順で計算します。

最後の等値法では、①、②からそれぞれ

とし、④=⑤から

です。

これを整理すると、

になり、加減法での(★)と同じ式を導くことができました。

これらのいずれの方法で解いてもOKですが、どのような場合でも、次のように、算出したx、yの値を元の式に代入して検算をしましょう。

テストのとき、不要な失点を避けることができます。

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未来進行形のはなし

2017-06-12 13:16:12 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日、高1の塾生が未来進行形を勉強していたので、今回はそれについてです。

「表現のためのロイヤル英文法」の未来進行形の項には、
“At this time tomorrow I’ll be through Kabul.” (明日の今ごろはカブールを車で通り抜けているところだ)
のように、未来のある時に進行中の動作・出来事を表すほかに、関係者の意思や意図とは関係なく起こる当然の未来を示す場合にもよく使われる、とあります。

例えば、
“At about 9 a.m. tomorrow, the typhoon will probably be hitting Shikoku.” (明日午前9時ごろ、その台風はおそらく四国に上陸するでしょう)
などです。

また、
“Will you come to the party?” と聞くと、一般に、来ることを要求していることになるのに対して、
“Will you be coming to the party?” とすれば、相手の予定を尋ねているだけになります。

この辺りのことを 「ALL IN ONE」 には、 “Will you be Ving?” という二人称主語の疑問文は 「Vなさいますか」 と 『意思』 を確認する場合に用い、これに対して “Will you Vb?” という疑問文は、一般に 「Vしてくれますか」 という 『依頼』 の意味に解釈されるため、この 『依頼』 の意味を打ち消す目的で未来進行形が用いられると解説しています。

例文としては、
“Will you eat here?” (ここで食べてくれますか) 『依頼』
“Will you be eating here?” (ここで召し上がりますか)『意思』の確認
が挙げてあります。

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測定値の計算

2017-06-11 11:28:02 | 理科の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

高1の塾生の通う高校では、高1で物理を勉強していて、先日の中間試験の範囲に測定値の計算がありました。

測定値の計算方法は、
・足し算、引き算の場合、位取りをそろえる
・掛け算、割り算の場合、計算結果の桁数を、計算に使う測定値のなかで最も少ない桁数の有効数字の桁数に合わせる
です。

例えば、
123.56cm+0.0789cm+9.87654cm という足し算の場合、3つの数がそれぞれ小数点第2位、同第4位、同第5位なので、これらの数を小数点第3位で四捨五入して小数点第2位に揃えて、
123.56cm+0.08cm+9.88cm
として計算し、133.52cm になります。

また、
123.56cm×0.0789cm という掛け算の場合、2つの数の有効数字はそれぞれ5桁と3桁なので、式の計算結果 9.748884cm2 の有効数字の桁数は3桁になります。そこで計算結果の小数点第3位を四捨五入して 9.75cm2 になります。

足し算、引き算と掛け算、割り算の計算方法の違いをしっかり覚えておきましょう。

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