東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

日本数学オリンピックの簡単な問題(59)

2016-10-14 13:44:34 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

午後に近くの歯医者で歯の掃除の予定だったのですが、担当の先生が体調を崩したということで、1ヶ月先に延期になりました。朝晩冷え込みが厳しくなったので、風邪でもひかれたのかもしれません。このところ、急に寒くなってきたので、受験生の皆さんは暖かくして勉強してください。

さて、今回は2003年日本数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「平行四辺形ABCDにおいて、∠BACの二等分線と線分BCとの交点をEとしたとき、BE+BC=BDが成立するという。このとき、BD/BCの値を求めよ。
 ただし、2点X、Yに対し、線分XYの長さをXYで表している。」
です。

早速、図1のように、問題の図を描きましょう。


▲図1.問題の図を描きました

BE+BC=BDなので、図2のように、線分BEを、BがCに一致するように平行移動したくなります。


▲図2.線分BEを、BがCと一致するように平行移動しました

この平行移動で、Eに対応する点をFとすると、△BDFは二等辺三角形で、さらに、四角形AEFDは平行四辺形なので(AD//EF、AD=EF)、AE//DFです。

ここで、∠CAD=としましょう。

まず、平行線(AD//BC)の錯角は等しいので、
∠ACB=∠CAD=
∠AEB=∠DAE=
が成り立ちます。

また、平行線(AE//DF)の同位角は等しいので、
∠DFB=∠AEB=
です。

一方、△BDFは二等辺三角形なので、その底角は等しいので、
∠BDF=∠DFB=
です。

そして、∠BAE=∠CDF(△ABE≡△DCF)から
∠CDF=∠BAE=
なので、
∠BDC=∠BDF-∠CDF
    =
    =
です。

ここで、図3のように、△BCO(平行四辺形ABCDの対角線の交点をOとしました)と△BDCに着目すると、
∠CBO=∠DBC
∠BCO=∠BDC=
で、△BCO∽△BDCです。


▲図3.△BCO∽△BDCです

したがって、BC:BO=BD:BCが成り立ち、BO=1/2・BDですから、
BC^2=BO・BD
    =1/2・BD^2
になり、これから
(BD/BC)^2=2
BD/BC=√2
で、これが答えです。


線分BCとBDを含む相似三角形を探す方針でいくと、直ぐに△BCOと△BDCが見つかるので簡単な問題です。

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