逆数とは何か？

『逆数とは』


ネットで検索すると答えはこうだ。

「ある実数に対し１／整数、又は、冪乗を使い１＾－１を掛け答えが１になる数」


確かに、


逆数を何かと聞かれれば、

答えとしては正解だろう。


しかし、


『逆数とは何か？』

その概念を聞かれた時の答えは何だろうか？


分数の逆数は、なぜ分子分母が逆になるのか？

マイナスの逆数は、逆数なのにマイナスなのか？

１の逆数は、逆数なのに１なのか？

そもそも、逆では無いのに逆数なのか？


そこで英語の表記を調べてみた。


英語では『inverse：逆、反対』又は『reciprocal：相互、互恵的』と表記するらしい。


おそらく、


「相互、互恵的」というのが、適切なのではないだろうか？


そこから察するに、

『逆数』という意味を、そのまま受け取ると混乱してしまうのだろう。

数学の和訳は分かりにくいものが多いと聞くので、その一つという事か・・・。


基本的には、

『逆数』とは数字における性質の一つと考えるしかない。


分数の割り算で、

片方の分子分母を逆にして掛けると計算できるのがまさにそれだ。
（実際には片方に逆数を掛けて１にすると残りが掛け算になっているアレ）


つまりは、


『逆数とは掛けると１になる数』と覚えるてしまうのが良いということだろう。

数学で覚えておきたい数式

算数から数学へ

中学、高校につれて難しくなって行くように思う数学。


色んな公式があるが、

分かりにくいのが、

平方根の移項や、

分数の移項。


そこで、


簡単な移項の覚え方。


１０＝２×５


と、


５＾２＝３＾２＋４＾２（”＾２”は乗数）


だけ。


１０＝２×５は

２＝１０／５と、

５＝１０／２となる。



５＾２＝３＾２＋４＾２は

直角三角形の辺の長さにも当てはまるが、

（５＾２が斜辺で残りが直交線）


５＝√３＾２＋４＾２となる。


これだけ覚えておけば、

結構、勘違いが防げるはず。

『千の位までの概数』とは何か？

小学校の子どものテスト問題に、

「千の位までの概数で、次の数はいくつになるか？」

というのがあった。


当然、

「千の位まで」、なのだから千の位を四捨五入して答えを出したら、


それは、間違い。


答えは、何故か　『百の位』　を四捨五入する事になっている。


しかし、


文章問題には　「まで」　と書いてあり、

当然、「まで」とはそこを含むのだから、

千の位も四捨五入するものだと思っていたのだが、

これが、大きな落とし穴だったらしい。


つまり、


『概数』＝だいたいの数

という問題である以上、大きい方に基準があるのが道理という事で、

『千の位まで』とは『一から千の位まで』ではなく、

『最大の数から千の位まで』と解釈するのが妥当だという事らしい。

小学生の問題に、そんな引掛けを付けるのはどうか？と思うが。

ちなみに、

小学生の子供は、

概数が出てきたら、その下の位を四捨五入すると学校では教わったらしい。

教え方が間違ってないか？


こういう問題で引っ掛ってしまった子供は、ずっと理解できないのだろうな。

微分積分その２。

なぜか、微分積分とは何か？と考え初めてしまった。

その続き。


この前、

「１次関数グラフ」を思い出してみた。

今度は、

『微分』につき物の『２次関数グラフ』にとりかかる。


まずは、

式だよな・・・

んーっと。


式が

　ｙ＝ａｘ＾２

とすると、




これが、1次関数でいう「傾き」になるわけだが・・・


んで、傾きが、

「ａ」

に対して、

「ｘ＾２」

って事だよな。

試しに、代入すると・・・


ａ＝１　で　ｘ＝２　だったら、


「ａ」が１の時、「ｘ」は２×２で４で、

ｙ＝４

だな。


「ａ」が２ならば、「ｘ」は・・・。

・・・何になるんだ？？？


まてまて。


んー・・・・・・。


なんか違う気がする。


あっそうか・・・！

代入だから、


「ａ＝２」

　の時、

「ｘ＝２」

ならばって事ね。


おぉ。・・・なんか見えた。


で、言えば、


「ｙ＝２×２＾２」


って事は・・・・。

ｙ＝８

で、

ｘ＝２

になるのかな・・・・。


んーっ？？？


何か考え方が間違ってる気が・・・・。


もう一回、整理して考えて見よう。


えーっと、まず、

　『ａｘ＾２』　ってのが傾きだよな。

で、傾きが、

『ａ』に対して、

『ｘ＾２』になって行くって事だから・・・・。


おぉっ！

だいぶ見えてきた。


んじゃあ、

『切片』はどうなるんだ？


えーと・・・・？

違うか・・・。


『切片』じゃなく、『頂点』になるんだな。


えっと、


とりあえず・・・１次関数グラフとの違いはなんだっけ？


思考中 　・・・・・・・・・・・・・・・・・！


１次関数グラフと違うのは・・・・、


『切片』　が無くて、　『頂点』　であって、

あとは・・・　『直線』　ではなくて、　『曲線』　になるっ・・・・て事か？


それから・・・・、　『頂点』　の座標が　Ｘ＝ｂ、Ｙ＝ｃ　と考えると・・・・・・、


式が　

ｙ＝ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃ

になるのか？


そうなると、X軸とY軸に頂点が　（ｘ＝０，ｙ＝０）　になるグラフは

頂点に対してUの字の曲線を描く事になるのかな？

ん？下向の場合はどうなるんだ？


えーと・・・。

傾きが上・・・、

プラス向きだと上になるんだから・・・・

下になるのは、マイナスになるって事だよな・・・・。


何処がマイナスになるんだ？


んっ？？？

こんがらがって来た。


・・・・確か、　ｙ＝ａｘ＾２　が傾きだよな。


・・・・つまり、　『ａ』　がマイナスなら下向きになるって事か？


んー・・・・・・。

あー・・・。


とりあえず、グラフの復習はいいかな。


ようし、もうちょいがんばるかぁ。

今更ながら、微分積分。

最近、コンビニには、


「ちょっと、取っ付きにくいな・・・」と


思わせる題名の本がチラホラ見かける。


特に、「相対性理論」やら「量子論」とか・・・。

書店に行って、まず手には取らない本の『題名たち』だが、

さすがはコンビニ。

内容は至って「簡単」・「簡潔」に書いてある。

まぁ、？？？と思うところはあるが、面白く読みきった。


で、その？？？の中に微分積分的な表現がチラホラ。


正直、高校時代、聞いた事はあったが、その程度だ。

なにせ、自慢じゃないが、高校一年の１学期に、

何故か「分数」を復習しているクラスがあったくらい。

この時ばかりは、正直　『唖然』　としたが。


それは、さておき。

微分積分に何故か興味が出てきた。

通常、高校で教えるのは、公式の暗記と、その解き方くらい。

自分の性格上、ディープな所まで知りたくなってしまうので

詳しく考察する事にしてみた。

大体、学生の時は、

とりあえず、

グラフが書けて、式が暗記できてれば、

それで「ＯＫ」だからな。

そうゆう教育もどうか？と思うが。


とりあえず、簡単に考えると

微分→細かい変化

積分→大まかな変化

といった感じらしい。


・・・・・・・。


ふーぅ。


どうやら、１次関数グラフから思い出す必要があるな。


１次関数なんて、中学校以来思い出した事も無かったが。

えーと。

確か・・・縦軸が「Ｙ」で、横軸が「Ｘ」だったかな？

式で書けば、

「ｙ＝aｘ＋ｂ」

切片が通過点で、

『デカルト法線』　で表すと、

傾きが、（Ｘ，Ｙ）グラフの傾斜度って事だな。

「ｂ」　が切片で　「ax」　が傾きって事だよな。

と、ここまでは良いのだが。


ちょっとまて。


なんかおかしい・・・。
例えば、

　『ｙ＝２ｘ＋１』　は、

切片が　『１』　で、

傾きが　『２』　って事だよな・・・。



切片が　『１』　だから、ｙ軸の　『１』　を通るのは理解できる。

しかし、なんで、傾きが　『２ｘ』　なのに、

ｙが２増えるんだ？


なんか、


前にもつまづいたような・・・。


まぁ、いいや。この際だから、トコトンつまづこう。


えーっと、とりあえず、


「ｙ＝２ｘ＋１」


　を解いて


－ｙ／２ｘ＝１


で、


－２ｘ＝ｙ

ｘ＝－ｙ／２


って事か？


・・・・んーっ？？？


なんか変だ・・・。

多分こうじゃないな。


まず、「ｙ＝２ｘ」とは何かだ。


そうだ、

試しに『１』を、代入してみよう。


ｙ＝２×１　だと

ｙ＝２　になる。





まてよ・・・。


「ｘが１」の時、「ｙが２」になってるって事か。


・・・・・・・。

あー・・・。なるほど。

『ｙ＝２ｘ』　ってのは

Ｘに対して、Ｙがどうなの？って式なのね。

それと、

ｙ＝２ｘ＋１の『＋１』は、

ｙの高さが変わるって事だ。


はぁ。


って、

微分積分までは、


まだまだ遠いな・・・・・。


時間はある。じっくりやろう。