マミさんの愛した数式②：直交形式から極形式へ

「ちょっと話を整理しましょう。…ふつう学校でならう座標はＡという点を（ｘ，ｙ）で表わすわよね。北緯35度、東経135度みたいに」
「うん、そうだね」
「これを直交座標っていうの。でも、原点からＡに向かっての角度と距離で表わすこともできるでしょ。ここから見滝原中学校は真東から30度の方向に２キロみたいに」
「その方が便利だし、わかりやすいね。10時の方向に敵機発見、距離約４キロとか」
「それが極座標なの。Ａまでの距離をｒ、ｘ軸からの角度をθとすると（ｒ，θ）で表わせるわけ」
「うん、それで？」
「ｘ軸をふつうの数直線、実数軸とし、ｙ軸をｉの実数倍、虚軸とすると複素数ａ＋ｉｂが（ａ，ｂ）で表わせるの」

「たてよこで押さえてるから直交形式か。…２つの実数の組み合わせが１つの複素数になる。つまり複素数を使えばベクトルを簡単に表現できるのかな」
「ええ、電気の分野で複素数が使われるのもそういうことなの。ってなんでベクトルのこと知ってるの？」
「不思議なことを言うね。重さや分量のことは学校で習わなくてもわかっているだろう？それと同じじゃないか」

「ａ＋ｉｂという複素数が極座標で（ｒ，θ）と表わせたとすると、
　ａ＝ｒcosθ ;ｂ＝ｒsinθとなるわけ。これが極形式」
「何？そのサインとかコサインって」

サインの覚え方ね。

コサインはこう。

「直角三角形の辺の比を角度を用いて表わしたものってこと」
「ふうん。直角三角形の形は角度で決まるからね…えっとこことここの比にｒを掛ければ実数部分の長さａになるの当たり前じゃない」
「数学っていうのは当たり前を積み重ねただけ。国による違いなんかないのよ」
「なるほどね」
「で、ｒ＝１の円を単位円っていうんだけど、そうするとオイラーの公式の右辺：cosθ＋ｉsinθは単位円上の点の表現ってことなの」

「うん、わかったよ。θ＝πならcosπ＝－１、ｉsinπ＝ｉ×０＝０で－１だね」
「それだと神秘的でもなんでもないけどね」