相加平均≧相乗平均の証明

２０２３年１１月２３日（木）

 

　相加平均≧相乗平均の証明の証明は、ときどき大学入試に出題される場合がある｡今年はお茶の水大学理学部で

出題された。一般のｎの場合の証明は、お茶の水大学の場合もそうであるが、数学的帰納法を用いる場合がほとん

どである。凸本ブログのように、凸関数を用いる証明を見たことがない。

 

　ここで、高校数学の範囲でn＝２，３，４の場合を証明しておこう。

 

　相加平均≧相乗平均の証明は、いくつの数学書に証明が記述されていると思う。その多くがここで述べる凸関数

　　　　　f(x)=log x      （x＞0）

を用いる方法であろう。ここでは、

　　　　　田島一郎　『解析入門』（岩波全書、1981．0102初版　1985．0220第5刷）

を参照にさせていただいた。本文の図も、この本からの引用である。

 

 

 

 

 

ちょっと休息　　１１月２１日のFacebook投稿より

　今日は、１週間ぶりに岐阜学習センターに出かけました。８時５０分頃に到着し、ロビーで１０分ほど休息してから

 

視聴覚スペースに入りました。

 

　１２時すぎまで、途中１５分頃休息を挟んで今学期の履修科目の放送授業を視聴しました。視聴したのは、『生活環

 

境と情報認知'20』でした。第１２講「サンプリングと情報の可視化」、第１３講「機械学習と情報認知」です。いずれ

 

も情報科学の深い知識が必要で、難しく感じました。

 

　昼食後、『微分方程式'23』の第１講を視聴しました。微分方程式には、玉川大学の通信教育、岐阜聖徳学園大学の対

 

面授業で履修したことがありますので、難しくありませんでした。微分方程式の学習には、微分積分学・線型代数学・

 

ラプラス変換などの特殊関数論・複素解析学など多くの準備と予備知識が必要です。数学の復習もかねて、少しずつ聴

 

講していこうと思います。

 

　１３時３０分には、帰宅するため学習センターを後にしました。

 

 

　今後、学習センターに行くのは１１月２４日(金)の予定です。午前中に新しい岐阜県庁に出かけ、午後にサークル「お

 

もしろ物理」に参加します。

大学院入学試験での微積分の計算問題 ～九州大学大学院入試問題より

２０２３年１１月２１日（火）

 

　前回に大学入試問題としての定積分の計算として,横浜国立大学理工学部のものをとりあげた。

　　　大学入学試験での定積分の計算問題　～２０２３年前期日程の横浜国立大学理工学部等の入試問題より

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２０２３年１１月２１日）　

　その問題では、置換積分と部分積分を駆使して計算していくものであった。今回とりあげた以前意出題された

九州大学大学院の入試問題も同様に、置換積分と部分積分を駆使して解いていく。大学の数学であるから、高校

数学で習わない逆三角関数や双曲線関数・逆双曲線関数などの関数が出てくる。しかし、置換積分と部分積分を

駆使して計算することに変わりがない。

 

　小問（１）は有名な問題で、いろいろなところで出題されている。高校数学の範囲で解けないことはない問題

である。高校数学では、天下り的であるが

　　　t＝x+√ (x²+１)

とおくと、

　　　∫1/√(x²+１)dx= log |x+√(x²+1)| ＋C　　　Cは積分定数

を導くことができる。やや、難しい積分計算であるが・・・。なお、本文の解答と表現は違うが、同じものである。

 

　なお、本問題の出典は、

　　海老原円・太田雅『詳解と演習　大学院入試問題＜数学＞　大学数学の理解を深めよう』

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（数理工学社、2015.0325初版・2022.0525初版第7刷）

による。

 

訂正　　　　

　　本文2枚目、下から4行目

　(誤）　sinh x＝｛e^x+e^(－x)｝/2　　→　（正）　sinh x＝｛e^x－e^(－x)｝/2　

 

 

 

 

ちょっと休息　　１１月１９日のFace投稿より投稿より

　今日の朝、９時頃からサトイモの収穫をしました。残っているサトイモがそんなに多くなかったこと、畑の土

が昨日の雨のために非常に柔らかくなっていたこともあって、２０分とかかりませんでした。スコップで一掘り

でした。

　自宅へ戻って、水洗いしました。

 

 

 

 

　

大学入学試験での定積分の計算問題 ～２０２３年前期日程の横浜国立大学理工学部等の入試問題より

２０２３年１１月１９日（日）

 

　微分や積分の計算問題をそのまま入試問題として出題する国公立大学は少ない。そうしたなかで、横浜国立

大学理工学部等では毎年大問１題を出題している。その問題を紹介しよう。

　実は、私は数学Ⅲの大学入試問題に出題される微積分の計算問題と大学で習う微積分の計算問題の違いがはっ

きりわからないところがある。もちろん、高校数学で習わない逆三角関数や双曲線関数などの微積分の計算問題

は別として、よく知られた高校数学で言うところの有理関数・無理関数・指数関数・対数関数・三角関数の微積

分の計算での入試問題には大学での数学と違いがわからないものも多い。大学入試問題の微積分の問題には、難

しいものも多い。

　今回の横浜国立大学の入試問題も、決してやさいい問題ではない。各自、自分で解いてみるとよい。なお、大

学で習う定積分の計算問題は、

　　大学院入学試験での微積分の計算問題　～九州大学大学院入試問題より　（２０２３年１１月１９日）

でとりあげる。そのうちの最初の問題は、高校数学（数学Ⅲ）の問題としても通用するであろう。

　積分の計算で重要な技法は、部分積分と置換積分である。これらをしっかり身につけておく必要があろう。

 

 

実特殊線形群 ～可微分多様体の1つの例として

２０２３年１１月１７日（金）

 

　私の専攻分野であった多様体論から、話題を提供したい。

　　　　SL (n,R)＝{A∈ M(n,R)|det A＝１}

を考える。この集合は、実数体R上のベクトル空間である正則なn次元実正方行列の集合M(n,R)

　　　　Ｇ (n,R)＝{A∈ M(n,R)|det A≠０}

の部分集合である。SL (n,R)は、通常の行列の積を定義することによって、この積に関して非可換な群にな

る。

　ここでＧ (n,R)のことを実一般線形群（general linear group)、SL (n,R)のことを本文にあるように実

特殊線形群（real special linear group）と呼んでいる。

 

　この実特殊線形群が、（n^2－１）次元可微分多様体（differentiable manifold）となる。このことの証

明が本ブログの中心である。本来ならば、可微分多様体の定義をきちんと述べてから考察すべきであるが、可

微分多様体についてはまた別の機会に述べたい。なお実一般線形群Ｇ (n,R)は、n^2次元可微分多様体である。

　SL (n,R)が可微分多様体であることを示すには、局所座標系を導入して具体的に位相多様体（topological 

manifold）を構成して、局所座標から別の局所座標への座標変換が微分可能であることを示すことが必要であ

るが、定義に基づく証明は困難である。そこで、本文のあげてある最初の定理によって証明が展開されること

が普通である。

　専門的で難しいと思うが、現代数学の記述にも慣れるいみにおいてもこの話題を取りあげた。

　なお、本ブログを整理するのに利用させていただいた参考書は、

　　　　横田一郎『古典型単純リー群』（現代数学社、2013.0201）

である。ここでリー群とは、群構造をもつ可微分多様体のことで、その群構造と可微分構造とが両立するものの

ことをいう。

　　　　

 

 

 

 

ちょっと休息

（１）来年度のPTA役員選出の時期

　海津市立城南中学校の１１月の学校だよりに、次のような記述があった。

　多くの学校では、来年度のPTA役員の選出時期である。城南中学校も、そうした時期であった。

　この記事をみると、ある保護者から

　「PTAは任意団体であり、入会の意思確認が必要であるのではないか」

との意見があり、急きょPTA入会の意思確認が必要になったのである。この保護者の意見は当然であり、PTAはそもそ

も入会の意思がある人だけで構成される。逆に、PTA非会員にはPTAの役員選出に対しては無関係である。ほっておけ

ばいいということになる。

　それにしても、途中であるが入会の意思の確認を行う城南中学校の姿勢は評価されていい。

 

（２）学位授与機構へ提出する履修科目と単位数の整理

　今日（１１月１５日）の午前中は、学位授与機構へ提出する履修科目と単位数の整理をおこなった。

　　①専門科目（数学・情報科学）

　　②専門関連科目（物理学・化学・生物学・地学）

　　③専門に関係のない科目（語学・国文学）

に分けて、提出する形式に合わせて整理した。やや履修科目と単位数が多い気がする申請時期が近づいたら、見直しする

ことにしよう。

　そろそろ、レポートを書くための資料集めを始めようと思う。放送大学の「自然と環境」コースの卒業の際に卒業論文

を選択しなかったこともあって、学位授与機構へ申請するレポートは卒業論文の代わりだと考えている。

 

（３）学校だよりにパスワードをかけている大垣市内の小中学校・・・海津市、北方町の学校は？

　大垣市内の学校で、『学校だより』にパスワードをかけて一般の人が見ることができなくしている小・中学校は以下

のとおりである。

○小学校

　興文小・東小・南小・北小・静里小・江並小・中川小・小野小・一之瀬小　　　22校中９校

○中学校

　西中・赤坂中・星和中・上石津中　　10校中4校

・・・・・

　昨年度までに校長と直接交渉して外してもらったところは、南小以外公開されている。

　中学校は、パスワードをかけていない学校が一般的だが、それでも4校ある。西中が一番隠蔽体質のように思える。

 

　海津市内の小中学校で『学校だより』にパスワードをかけている小中学校はない。ただし、一部の学校以外に発行

が少ないのか更新がないのかよくわからないが、広報に対しては消極的な姿勢が目立つ。

　北方町の北学園・南学園ともに、『学校だより』は公開されている。

　ただし、北学園については『学校だより』の発行が４月当初のみで極端に少なくほとんどない。これは旧北方中学

校のときと変わらない。

　南学園についてはほぼ毎月発行されていて、公開されている。これも、旧北方南小学校のときと同様である。

　北学園も南学園も合併前の所在地の旧小学校・中学校の状態を引きついていて面白い。校長が替わっていないから

であろうか？北学園も南学園も、情報発信については、積極的であると言っていいだろう。（北学園は、『学校だよ

り』以外で情報を発信している。）

単調減少関数についての話題

２０２３年１１月１５日（水）

 

　単調減少関数について、いろいろな話題をとりあげてみた。高校数学の範囲を超える部分もある

かと思うが、そこは気にしないでいただきたい。

　一様本ブログを通じて、単調減少関数は狭義単調減少関数の意味で用いた。つまり、

　　　a＜b　 ⇒　f(a)＞f(b)

で、広義の単調減少関数（つまり、単調非増加関数）

　　　a≦b　 ⇒　f(a)≧f(b)

の意味で用いていない。最初に断っておきたい。

　　

 

 

 

 

ちょっと休息　　　　１１月１４日のFacebook投稿より

　今日はⅠ週間に１回、岐阜学習センターに行く日でした。

８時５０分頃に岐阜学習センターのロビーに行って、休息を取りました。そして、今日は昼食の弁

 

当をOKBふれあい会館第２棟２階にある購買部で購入しました。

 

　その後、視聴覚室に入室。１２時過ぎまで、『生物環境の科学’16』の通信指導の発展問題を解き

 

ました。次に、学位授与機構にて提出する積み上げの単位の確認をしました｡申請に必要な科目と単

 

位数は、十分満たされていることを改めて確認しました。

 

　昼食時に同じサークルの学友と物理学・数学の話をずっとしていました。時間を忘れて、会話を楽

 

しんでいました。

 

　１３時１０分頃に、岐阜学習センターを後にしました。

 

（追伸）

　

　今日の学習の延長として、自宅で『生物環境の科学’16』の通信指導の発展問題の残りの問題を解き

 

ました。その解答をWEB上から確認したら、１６問全問正解でした。

 

　今後はこの科目の過去問を解くことと、『生活環境と情報認知'20』の残りの放送授業を視聴したい

 

と思っています。