マッキーの算数指導法『特殊算』…『ニュートン算…その３・中学入試問題《渋谷教育学園渋谷中学校》』

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今回３回目の「ニュートン算」は「牧草と牛の問題」で、このタイプのニュートン算はニュートンが実際に出題した問題に最も近く、中学入試にも出題される問題です。

この種の問題は、「泉のポンプの問題」と並んで、「ニュートン算の完成形」であり、その解き方を理解しておく必要があります。

この種の問題を、「牧草算」と名づけて解き方を解説している人がいますが、「～算」と呼んで特殊算をやたら増やすのではなく、逆に大きな分類に集約すべきです。


今回取り上げる問題は、渋谷教育学園渋谷中学校の入試問題です。

２０１０年の渋谷教育学園渋谷中学校の算数は、大問５題で【１】は計算２題、【２】は小問５題、【３】から【５】までは３つの小問に分かれる大問３題の構成です。

解説する「ニュートン算」は、【５】の問題で、小問３問構成で出題されています。

オオキバナカタバミ

【問題１】

　ある牧場で、牛を１５頭放牧すると、１４日間で食べつくす草が生えています。もし、９頭を放牧すると３５日間で食べつくします。ただし、草は毎日一定の割合で生えるものとし、またどの牛も１日で食べる草の量は同じであるとします。
　次の問いに答えなさい。ただし、答えを求めるのに必要な式、考え方などを順序よく書きなさい。

（１）１日に草が生える量は、牛１頭が１日に食べる草の量の何倍ですか。

（２）もし、牛２５頭を放牧すると何日で草を食べつくしますか。

（３）もし、はじめに牛を７頭放牧して、７日目から何頭か増やしたところ、それから１６日間で草を食べつくしました。何頭増やしたのでしょうか。


【ヒント】

「泉のポンプの問題」と同様に「牧草と牛の問題」は、「１日に生える草の量」「牧場に生えている草の量」をどのように表すかがまず問題になります。

今回の出題では、まず（１）で、「牧草と牛の問題」の解き方のヒントを与えています。

すなわち、牛１頭が１日に食べる草の量を基準にしなさいという条件が、こうした問題を解く手段となります。

同様に「泉のポンプの問題」は、ポンプ１台が単位時間当たり（１分・１時間など）に汲み取る水量を①と置いて条件を整理します。

与えられた条件を、いつも通り模式図に書いて整理してみましょう。

 上の図のように、入っている量（生えている草の量）・入ってくる量（生えてくる草の量）が条件として出ていません。

また、出ていく量（牛が食べる草の量）は、２つの条件が提示されています。

この２つの条件を上手く整理して、１日に草が生える量と牧場に生えている草の量の２つの量を求めることからスタートします。

牛１頭が１日に食べる草の量を①と置きます。

すると牛１５頭が１４日間で食べる草の量は、１５×１４＝２１０（丸で数値を囲む）…①

また、牛９頭が３５日間で食べる草の量は、９×３５＝３１５（丸で数値を囲む）…②

①と②の条件から、牛が牧場の草を食べつくすのに、２１０と３１５という牧草の量の差が生じるのは何故かを考えます。

牧場の草を食べつくすのに食べる牧草の量に差が生じるのは、食べつくすのにかかる日数の差（１４日と３５日の差２１日分）により、生えてくる牧草の量が異なるからです。

このことを考えて答えを出していきます。


【問題１・解答】

（１）

ヒントで出した２１０と３１５の差は、３１５－２１０＝１０５（丸で数字を囲む）。…　「以下、丸で囲む」の表記は省略します

この牧草の量の差は、１４日と３５日の日数差である２１日間に生えてきた牧草の量と考えられます。

したがって、１日で生える草の量を、牛１頭が１日に食べる草の量①で表すと、

１０５÷２１＝⑤という数値が出てきます。

求める１日に草が生える量は、牛１頭が１日に食べる草の量の５倍という答えが出ます。


（２）

（１）で入ってくる量が計算できました。

次に「入っている量」、すなわちこの牧場に生えている牧草の量を、牛１頭が１日に食べる草の量①の何倍かで表すことです。

牛１５頭が１４日間で食べた草の量は、２１０。

そこから、１４日間で生えた草の量を引くと、牧場に生えている草の量を計算することができます。

２１０－⑤×１４＝１４０

求めた条件を、模式図に記入すると、以下のようになります。

入っている量…１４０、入ってくる量…⑤、出ていく量は牛２５頭分でマル２５。

以上の結果から、この３つの数値が出てきましたので、後はニュートン算の基本の基本！

１４０÷（２５－５）＝７日間……（２）の答え


（３）

条件より６日間と１６日間の合計２２日間で食べた草の量は、１４０＋５×２２＝２５０。

初め牛７頭で６日間草を食べた量は、７×６＝４２

よって１６日間で食べた草の量は、２５０－４２＝２０８

この２０８の草の量を、１６日間で食べたという条件から、

１日で食べた草の量が計算できて、２０８÷１６＝１３（頭）…無論丸１３と表記

よって求める牛７頭から増やした牛の頭数は、１３－７＝６（頭）……（３）の答え

どうだったでしょうか？

これが、　「ニュートン算」の本質的な問題です。

「入っている量」・「入ってくる量」が条件として出てなく、「出ていく量」についての２つの条件から、問題を解いていくパターンの「ニュートン算」です。

受験生にとってニュートン算は、そのテリトリーは狭い文章題ですが、慣れていないと解けない問題の一つですから、練習しておきましょう。 

次回４回目は、「ニュートン算」最終回の指導法伝授として、「ニュートンが実際に出題した問題」にチャレンジしてみましょう。

 

ニュートン算についての解法指導に関心のある方は、下のブログも参考にご覧ください。

マッキーの算数指導法『特殊算』…『ニュートン算…その１・中学入試問題《桐朋中学校》』

マッキーの算数指導法『特殊算』…『ニュートン算…その２・中学入試問題《城北埼玉中学校》』

マッキーの算数指導法『特殊算』…『ニュートン出題の《ニュートン算》を小学生が解く！』