Hawking radiation, the Stefan-Boltzmann law, and unitarization
Steven B. Giddings
ホーキング放射、シュテファン・ボルツマンの法則、および統一
[2015年11月25日（v1）に提出、2016年1月12日最終改訂（このバージョン、v3）]
注：正確な数式は原典にて確認してください。
概要
ホーキング放射はどこから発生しますか？
一般的な見方は、それが地平線の非常に近くまたは地平線での励起から生じるということであり、この視点は、ブラックホールの量子力学を説明する際のUV依存エンタングルメントエントロピーの重要な役割についての「ファイアウォール」の議論を支持しています。
ただし、ホーキング放射の総放出率と応力テンソルの両方を詳しく調べると、その発生源は地平線に近い量子領域、つまり「大気」であり、その半径範囲は地平線半径スケールによって設定されます。
ユニタリー性を回復するにはホーキング放射を変更する必要があるため、これは潜在的に重要です。自然な仮定では、このような変更に関連するスケールは、ホーキング放射を支配するスケールに匹敵します。
さらに、関連する議論は、ベッケンシュタイン-ホーキングエントロピーによって支配されるブラックホールの熱力学を損なうことのない、「非暴力」シナリオにおける余分なエネルギーフラックスに関する質問への解決策を示唆しています。
ホーキング放射は、一般にブラックホールの地平線から発生していると認識されています。
この理由の1つは、ホーキングの元の計算の構造です[1]。
地平線のすぐ外側にある高度に青方偏移したモードは、同様の内部励起と絡み合っており、進化して放射になると説明できます。
この見方は、一定の半径rでの検出器の観測の熱的記述との良好な一致によって強化されています。
これらの検出器は適切に加速しているため、トールマンの法則に従って、青方偏移によってホーキングに関連する温度でウンルー効果を体験します。たとえば[2]を参照してください。
ただし、ブラックホール崩壊のユニタリー性の要件から、ホーキング放射を変更する必要があることがわかるため、この図を確認することが重要です。
どのような変更が必要で、どこで発生するのかを理解したい場合は、まず、情報損失の問題の原因となるホーキング放射の特性を完全に理解する必要があります。
これは、たとえば、「ファイアウォール」引数の構造によって強調されます。
ホーキング放射の地平線に近い起源を仮定し、したがってユニタリー性を復元するために対応する地平線に近い励起を変更する必要がある場合、状態は非常に特異であり、巨大なエネルギー密度も時空幾何学をレンダリングすると結論付けます。地平線で特異[3-6]。
したがって、単一化の変更が現れる可能性のある場所と、ブラックホールの熱力学の他の側面の両方をよりよく理解するために、ホーキング放射源について他のテストを求めます。
放射体のサイズを推測する1つの方法は、シュテファン-ボルツマンの法則を使用して、放射電力を与えることです（2つの偏光自由度の場合、たとえば光子）
dE / dt =σS* A * T ^ 4（1）
放出する黒体の面積Aとその温度に関して;ここで、σS=π^ 2/60はシュテファン-ボルツマン定数です。（注：πは円周率：３．１４１５９、、、）
これから、出力と温度から放射面の面積を見つけます。これは、ホーキング放射の場合、ホーキング温度であると予想されます。
ただし、複雑なのは、ブラックホールが灰色の物体として放出されることです。正確には熱ではありません。
しかし、灰色体の要因（グレイボディーファクター）を考慮に入れると、数値計算[7]は、Aを地平線領域とすると、スピンが1以下の粒子の放出率が率（1）を超えることを示しています。これは、より大きな有効放出面を示唆しています。
具体的には、例えば光子放出を考慮すると、参考文献。 [7]（式（29）以下を参照）は、質量Mのブラックホールの合計速度を示しています。（注１）
dE / dt = 3.4×10 ^ −5 * M ^ −2、（2）
レートと比較して
dE / dt = 2.1×10 ^ −5 * M ^ −2（3）
（1）から、T = 1 /（8πM）がホーキング温度で、A =16πM^ 2が地平線面積である場合。
計算と結論は、次のように表すことができるパワースペクトルを見ることによって鋭くすることができます。
dE /dtdω= 1 /πSum.l（2l + 1）ωΓωl/（e ^ βω− 1）
= 1 /π^ 2 *ω^ 3 /（e ^ βω− 1）*σ（ω）（4）
2自由度の場合、lは軌道角運動量、Γωlはグレイボディ係数、β= 1 / Tです。
2番目の等式では、スペクトルは周波数ωでの吸収断面積に関連付けられています。
σ（ω）=π/ω2* Sum.l（2l + 1）Γωl。 （5）
面積A =4πr^ 2の球形黒体の場合、σ（ω）=πr^ 2 = A / 4であり、（1）が再現されます。
ホーキング放射の場合、灰色体の係数はωによって自明ではありませんが、大きなωの限界では、
σ（ω）→πR（a）^ 2（6）
ここで
Ra =3√3* M =3√3/ 2 * R（7）
R = 2Mはシュワルツシルト半径です。（Ra＝3*sqrt(3)/2*シュワルツシルト半径=2.5981*シュワルツシルト半径：シュワルツシルト半径の２．６倍の空間が必要)
この限界は幾何光学、質量のない限界であるため、この結果は、古典的な質量のない粒子の有効ポテンシャル（[8]などを参照）から理解できます。
ここで、吸収はl <ω* Raの場合に完全であり、l>ω* Raの場合は消滅します。
それでΓωl≈θ（ωRa− l）、（8）は（6）を与え、[7]のスペクトルと一致する高エネルギーパワースペクトル（4）を生成します。
したがって、ホーキング放射の有効放射面積は、この高エネルギー放射から読み取ることができ、A =4πRa^ 2です。
;有効放射半径Raは地平線半径のかなり外側にあり、これは地平線のかなり外側のソースを示しています。
量子効果がより適切になる低エネルギーモードの場合、灰色体因子は単一性から抑制されることに注意してください。
ほとんどの放射はそのようなモードであるため、これにより[7]、A =4πRa^ 2で評価された（1）から抑制された全エネルギー（2）が得られます。
ホーキング放射の発生源が地平線のかなり外側にもあるという声明は、さまざまな認識に反しているため、他の方法でテストする必要があります。
ホーキング放射のより洗練された図は、その応力テンソルを調べることから得られます。
これは、2次元メトリックの場合に特に扱いやすく、次の形式になります。
ds2 = −f（r）dt2 + dr2 f（r）= f（r）（− dt2 + dx2）
= −f（r）dx + dx−（9）
ここで
dx = dr f（r）。 （10）
およびx±= t±x。
等角座標xは、亀の座標と呼ばれることもあります。
[10]の可溶性崩壊モデルで研究された[9]の2次元ブラックホールについて、
f（r）= 1 − e −2（r−R）。 （11）
ただし、メトリック（9）は、高次元のブラックホールを通過する宇宙ひもに誘導されるメトリックと考えることもでき、その場合も調査できます。
ホーキング放射の応力テンソルの期待値は、共形異常を介して計算できます[11,10]。
hT−−i = 124π∂2−f f − 3 2（∂−f）2 f 2 + t−（x −）
hT ++ i =124π∂2+ f f − 3 2（∂+ f）2 f 2 + t +（x +）
hT + −i = −124π∂+ ∂−f f −∂ + f∂−f f 2・（12）
ここで、t−（x −）およびt +（x +）は、特定の状態を特徴付ける任意の関数です。
（12）が保存されていることは容易に確認できます。
確かに、共形異常はhT + -iを決定し、次に保存は関数t±までhT --- iとhT ++ iを修正します。
式（12）は、（10）を使用して、素数で表されるfのr導関数で記述できます。
これは与える
hT−−i =196πff '' − 1 2（f ′）2 + t−
hT ++ i =196πff '' − 1 2（f '）2 + t +
hT + −i =196πff ''。 （13）
ハートルホーキング[12]またはUnruh [13]状態の場合、{Tµν}のクラスカル成分に関してチェックされた将来の地平線での{Tµν}の規則性は、次のことを意味します。
t− = 1 /192π[f ′（R）] ^ 2。 （14）
{T ---}の他の項はr→∞で漸近的に消滅するため、t-は漸近的なホーキングフラックスです。
ハートルホーキング真空の場合、このフラックスは流入フラックスによってバランスが取られ、t + = t−であり、{Tµν}も過去の地平線上で規則的です。
Unruh真空の場合、t + = 0であるため、漸近フラックスはありませんが、地平線への負のエネルギーフラックスがあります。
{T-}もr− Rで次の次数に消えることに注意してください。これは、（13）からそのr導関数を取得することで簡単に確認できます。つまり、{T--}はr = Rでf（r）^ 2として消えます。
これで、前述の主張をサポートするプロパティが表示されます。外向きのホーキングフラックス{T ---}は、1 / fを掛けることにより、正規直交フレーム（c.f.（9））のフラックスに変換できますが、結果として得られる適切な{T-ˆ -ˆ} iは地平線で消えます。適切な外向きフラックスは、そこからr〜Rの範囲で、その漸近値まで増加します。
つまり、応力テンソルによって測定された出力ホーキングフラックスは、地平線ではなく、より大きな量子領域または大気で発生します。
ハートルホーキング真空の場合、{Tˆ0ˆ1}は、流入フラックスと流出フラックスの間のキャンセルにより、同じように消滅します。
Unruh真空の場合、{T ++}によって記述されるエネルギーの負の流入[14] 1のため、{Tˆ0ˆ1}は地平線で消えません。
地平線に近い座標rでのこのエネルギー流束は、次の形式のシュテファン-ボルツマンの法則の2次元バージョンを満たします。
dE / dt = − {Tˆ0ˆ} =σ2* T（r）^ 2、（15）
ここで、T（r）は局所的に青方偏移した温度であり、一定のrで局所的に加速された観測者に見られ、σ2は定数です。
しかし、このフラックスは、外向きのホーキング粒子から発生するものではありません。
範囲∆r〜Rにまたがる地平線の外側の量子領域では、負のフラックス{T ++}は非ゼロの正の{T ---}に遷移します。
これらのステートメントは2次元で作成されていますが、高次元のブラックホールに直接関係しています。
具体的には、高次元のブラックホールの量子大気は、ブラックホールに宇宙ひもを通すことによって調べることができます。
次に、ストリングに沿った任意のモードは、通常の角運動量障壁を回避するホーキング放出のための直接チャネルを提供します。
これは、そのようなブラックホールがより速く放出されることを意味します。これは、ブラックホールを採掘するプロセスの簡単な例を示しています[19]。
弦の1+ 1次元のメトリックは、周囲の時空のメトリックから誘導されるため、D次元のシュワルツシルトの場合、
f（r）= 1 −（R / r）^ D−3。 （16）
ここでも、外向きのホーキングフラックスは地平線の外側でΔr〜Rの範囲に蓄積されます。
こうして、ホーキング放射は、ブラックホールの地平線の小さな領域からではなく、シュワルツシルトブラックホールの地平線の外側のRに匹敵するrの範囲（大気と呼ばれることもあります）から発生するという2つの議論が見つかりました。
また、放射の波長を調べることも有益です。これは、典型的なホーキング量子の場合、値λ≈λTを取ります。
λT=2π/ T =8π^ 2 *R≈79R。 （17）
したがって、黒体放射の典型的な議論とは対照的に、地平線のサイズは熱波長よりもはるかに小さいです。
また、その占めている場所(occupation)が最終的にホーキング放射を生成する近水平青方偏移モードの波長を調べることもできます。
典型的な波束幅∆x =λTで、ある近水平線rを中心とするこのようなモードを考えると、（10）の近水平線限界は、波束エッジが次のようになることを示します。
（r − R）エッジ≈（r − R）e ^（±f '（R）λT/ 2）
=（r − R）e ^（±4π^ 2）（18）
ここで、最後の等式は4次元シュワルツシルトにf（r）を使用します。
したがって、そのような典型的なモードは、それらの中心の地平線からの分離よりもはるかに大きいrの範囲に及びます。
これは[20]の観察と一致しており、モードはブラックホール自体の近くから分離するまで、ブラックホール内の「ホーキングパートナー」から分離しません。
したがって、地平線からの分離と比較して小さいスケールでの地平線に近い観測者の観測の議論、δr≪ r − R、またはこれらのモードのそのような操作[6]は、これらのモードを次のようなスケールで記述しようとすることを含みます。それらの典型的な熱的波長の範囲内です。
このブラックホールの話は通常の黒体の状況から逸脱していますが、ホーキング放射のより短い距離の起源をサポートしているようには見えません。
代わりに、この論文の組み合わせた観察は、[1]で見られるホーキング励起の超プランク起源がホーキング効果を計算するその特定の方法のアーティファクトであることを示唆しています。
ホーキング放射の長距離起源の声明は、統一の問題に潜在的に重要な意味を持っています。
ホーキング放射はユニタリー性の喪失の原因です[21]。
これは、量子力学を保存するためにホーキング状態を変更する必要があることを示しています。
ホーキング放射が地平線からではなくブラックホールの大気から発生している場合、それを統合する新しい効果が地平線ではなく、そこでも機能することを期待するのは合理的で自然なことです。
これは、[6]が提唱するファイアウォールの図とは対照的に、[15,22-29]の最も単純な「非暴力」シナリオで提案されているものとまったく同じです。
実際、前述の観察結果は、非暴力的アプローチについて尋ねられた質問の1つにアプローチする方法を示唆しています。
効果的な理論近似の観点からこのアプローチを説明すると、半古典的重力の結合を超えて、ブラックホールの大気中の励起への追加の結合が含まれます。
これらの結合はブラックホールの量子状態に依存し、最終的にはブラックホールからその環境へのエンタングルメント移動の原因となります[30、25、31]。これはブラックホールの崩壊を統一する必要があります。
[23,24,26-28]で指摘されているように、このような結合は通常、追加のチャネルが導入されるため、ブラックホールから追加のエネルギーフラックスを生成します。
応力テンソルへの効果的な結合に基づくモデルは、たとえばこの影響を最小限に抑えることができますが[29]、余分なフラックスを回避することは依然として課題です。
しかし、そのような余分なエネルギー流束は、典型的なエネルギー〜Tのモードを介して運ばれる場合、必ずしもブラックホールの熱力学と矛盾するわけではありません。
これは、前述のように、ホーキングパワーが黒体のパワーを大幅に下回っているためです。これは、温度Tを変更せずに、（1）を考慮して追加のフラックス（流束）が可能であることを意味します。
これは、典型的なエネルギー〜Tのブラックホール励起とブラックホール環境のモードとの間の追加の結合によって生じると考えることができます。これは、低周波の灰色体因子の抑制の一部を補います。
（この抑制は重力子に対して特に強いことに注意してください[7]。）
特に、[29]のような応力テンソルを介した結合は、低エネルギーでこれらの要因を変化させると予想されます。
したがって、NVNLの有効場の理論近似で説明されているように、ブラックホールの外部への追加の結合は、ブラックホールのエントロピーのBekenstein-Hawking式を変更せずに、エネルギー流束を変更できます。
このような結合は、周波数ω〜Rのモードの吸収も増加させる可能性があり、これは（4）によって示唆されます。
実際、ブラックホールが平衡構成の熱流束によって維持された場合、放出されたエネルギーの増加は、吸収されたエネルギーの増加によってバランスをとる必要があります。
ただし、このような結合は、より高い周波数ω≫ 1 / Rのモードに大きな影響を与える必要はないため、このようなモードの等価原理をほぼ尊重できます。
結論として、このノートは、ホーキング放射の源がブラックホールの地平線の外側のサイズ∆r〜Rの量子領域であるという証拠を示しています。
ホーキング崩壊を統一するために必要な局所場の量子論を修正する新しい効果がホーキング放射と同じ特性スケールを持っている場合、つまり、解が問題と同じスケールを持っている場合、これらの結合も最も単純な非暴力的非局所性シナリオで提案されたスケールサイズに一致する半径r〜3√3R / 2以上に拡張します[15,22-29]。
温度Tで熱力学的記述を維持するために、これらの結合は主にエネルギーω〜Tのモードに対して行う必要があります。
したがって、これらの単純な議論は、ブラックホールの量子進化を統一する理論に関連するスケールを強く示唆しています。
謝辞
著者は、J。Hartleの議論に感謝し、D。Pageの[7]の結果を明確にする電子メールメッセージに感謝します。
彼はまた、ホーキング放射が地平線から発生すると信じている人がいることを確認してくれたD.マロルフに感謝します。
注１：参考文献７：Particle emission rates from a black hole: Massless particles from an uncharged, nonrotating hole
ブラックホールからの粒子放出率：帯電していない、回転しない穴からの質量のない粒子
『この論文では、ホーキングの量子形式とTeukolsky and Pressのブラックホール摂動法を組み合わせて、既知の質量のない粒子の放出率を計算します。数値結果は、・・・そのうち81％はニュートリノ、17％は光子、2％は重力子です。これらの速度に加えて、小さなBHからの巨大な粒子の放出速度の推定値により、原始ブラックホールは、その初期質量がM<(5±1)×10^14 g.（注：M≒(5±1)×10^14 g.程度）であった場合には、宇宙の現在の時点で崩壊したと推測できます。』
M<(5±1)×10^14 g.＝(5±1)×10^11Kg ＜－－ http://astro-wakate.sakura.ne.jp/ss2013/web/syuroku/grcosmo_24a.pdf
追記：(2021/5/9)：上記論文の著者であるSteven B. Giddingsさんの書いた記事が日経サイエンス6月号「ブラックホールの情報パラドックス 解決へ新たな糸口」（原題：Escape From a Black Hole)として載っています。
・ダークマター・ホーキングさんが考えたこと 一覧＜－－リンク