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 コーシーの積分表示（実軸上は相殺） |
R2012-07.pdf 第１０章の抜書きを少し加筆しましたが，あまり改善できませんでしたので補足を追加します．もちろん１変数だけです．
補足：(1) δ(t) や u(t) の F±(z) による表現の前に，まず普通の関数のコーシーの積分表示（上図）で |ζ| → ∞ とした積分路での積分値を 0 として，実軸近傍の積分値だけを考えます．f(ζ) が実軸上に極を持たなければ，z = t とおいた [A%31] の積分路を [33%3] と同様に定めると，F+(ζ) － F-(ζ) では微小半円上の積分値の差が残ります．C(+) の微小半円は時計回り，C(-) の微小半円は反時計回りですから，差には時計回りに１回転することになり f(t) が現れます．f(ζ) が実軸上に極を持つときも同様です．
※ z = t が極でなければ積分するまでもなく f(t + jε) = f(t - jε) ですが，積分を考えることにより z = t が極のときは積分によって留数が現れることが分かります．積分を使わないと [1%1] のような定義から δ(t + jε) - δ(t - jε) の値を考えるのは困難です．また，F±(t ± jε) を計算するときの閉路が小さいと実軸から離れたところでの積分値も無視できなくなります．実軸上（極は微小半円で避ける）であれば差をとったとき留数以外の積分値は相殺されます（極は複数あってもよい）．
(2) δ(t) を考えるときは [A%11] のようなフーリエ逆変換より [A%31] のような ∫f(t)δ(t) dt = f(0) に基づいた導出の方が普通の関数の場合との対応が分かりやすくなります．
(3) u(t)（普通の関数として解析接続できない）の波形からは F+(t + j0) － F-(t - j0) = u(t) となる {A%12] の F(z) を想像し難いのですが，δ(t) の F(z) を積分すると辻褄が合っていることを確認できます．
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 １次元のフーリエ(逆)変換 [10-5]（校正もれ） |
R2012-07.pdf に第８章～第１０章の抜書きを追加しました．第１０章の先は別世界のようです．
[11-1] 佐藤の超関数 - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%90%E8%97%A4%E3%81%AE%E8%B6%85%E9%96%A2%E6%95%B0
[11-2] 主値 - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%BB%E5%80%A4
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[11-3] An Invitation to the Theory of Hyperfunctions
http://ohkawa.cc.it-hiroshima.ac.jp/math/hyperfunction.htm
これは一変数の時は日本の数学者にも直感的にも理論的にも distribution よりも分りやすいとして
好感を持って受け入れられたが，多変数の時は当時日本では主流ではなかった多変数解析函数論，
層のコホモロジー論が用いられた。・・・・などのため扱いが難しく，日本では余り普及しなかった。
・・・・更にその後，柏原を初めとする多くの優秀な研究者が出てからは様相は一変した。
[10-5](再掲) 7 章 超関数論
http://www.ieice-hbkb.org/files/12/12gun_01hen_07.pdf
※ 7-2 が佐藤の超関数の紹介ですが「多変数の佐藤超関数の定義を書くのは，大仕事である．ここで
は省略する．」
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R2012-07.pdf に第４章～第７章の抜書きを追加しました．補足無しです．ヒルベルト空間，シュヴァルツの超関数については各自調べてください．
[10-1] 学校では教えてくれない数学:超関数の勉強
http://blog.livedoor.jp/calc/archives/16774638.html
[10-2] 学校では教えてくれない数学:今日の一冊
http://blog.livedoor.jp/calc/archives/8625086.html
[10-3] Masahiro Kaminaga's Weblog: 異分野の友と呑む。また楽しからずや。
http://kaminaga-weyl.blogspot.jp/2010/08/blog-post_27.html
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[1-4](再掲) 位相解析の基礎
http://www.iwanami.co.jp/cgi-bin/isearch?isbn=ISBN4-00-005025-7
http://www.iwanami.co.jp/fukkan/index.html
http://www.amazon.co.jp/gp/offer-listing/B000JAQFRI/
集合・位相・測度（河田）；Hilbert空間およびBanach空間（吉田）；超関数（岩村）
[10-4] 名著の復刊，シュワルツ超関数入門 新装版
http://www.nippyo.co.jp/book/1236.html
ISBNコード978-4-535-60126-0 発刊日：1999.10
[10-5] 7 章 超関数論（電子情報通信学会，知識の森）
http://www.ieice-hbkb.org/files/12/12gun_01hen_07.pdf
[10-6] 6 フーリエ変換と超関数
http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/fourier/fourier6.pdf
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電子情報通信学会の http://www.ieice-hbkb.org/portal/doc_index.html を紹介します．
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電子情報通信学会は，その網羅する学術分野における知識を体系化し，保持・記録
し，様々な活用に供する任務を担っております．過去においては，本としてのハンドブッ
ク出版を通じてこの役目を果たしてきました．一方，電子情報通信に関係する分野が急
速に拡大し，基盤となる知識は膨大なものとなって成長を続けています．そこで，この
度，新しくＩＴを積極的に導入した「知識ベース」を構築し，これを広く公開することといたし
ました．知識ベースには，すべてを含めると，18群，140編が計画されております．おおよ
そ一つの編が一つの技術分野に相当する大きさです．執筆の進んだところから公開して
行く予定です．ぜひご期待下さい．
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