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 単一誤りの訂正 |
役に立つか否かは別にして，参考までに Γ，⊿ を用いたハミング符号の復号器の回路図と式の例を示します（W は作用素を定義するための任意の関数）．Φは引数の命題が真のとき 1，偽のとき 0 となる関数です．上図は p 番目の符号語を切り取って復号するときの原理図ですが，奇数番目用と偶数番目用の復号器を切り換えて使えば連続的に処理できます．
補足： ⊿mΓnΣiwiz-i = wm+1z-m-1 + ... + wnz-n です．先頭の m ビットの入力中は⊿pn+mΓpn+nによってフィードバックが禁止され，除算回路はシフトレジスタとして動作しています．上図の回路ではシンドロームが現れた後も下図のように除算を続行しますが，伝統的な回路構成ではシンドロームを別の除算回路に転送して誤り位置を調べます．このため奇数番目用と偶数番目用の復号器を準備する必要はありませんが動作が上図の回路より分かり難くなっています．
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伝送誤りのシンドローム |
#47: 誤りの訂正
#45 で述べた巡回符号の生成多項式として（原始多項式とは限らない高次の）適当な多項式を用いることにより複数ビットの誤りを訂正することができますが（補遺で例示します），sys.pdf では #46 の符号よりさらに簡単なハミング（7, 4）符号で単一誤りの訂正を説明します．復号器の場合も符号器と同様に Γ，⊿ を用いてスイッチングのタイミングを回路図に明記できますが，汎用プロセッサによる処理では意味が無いので省略します．上記の式の f は逆関数が存在し，伝送誤りを訂正した復号器の出力は X(z) + f -1(G(z)⊿{X(z)/G(z)}) です（シンドロームの係数ベクトルでソートされた表を用いると瞬時に訂正可能）．BCH 符号や RS 符号の復号については例えば [4-48] で具体例を用いて分かりやすく説明されています．
補足： G(z)⊿{X(z)/G(z)} のような剰余の表現は冗長ですが，無限級数 ⊿{X(z)/G(z)} で表される信号を伝達関数が G(z) のフィルタに入力すると剰余が出力されるという物理的な意味を持っています．
[4-48] 誤り訂正符号について (ハミング符号、BCH 符号、RS 符号)
http://iwanami-web.elcom.nitech.ac.jp/member/h13sotsuken/block_code.pdf
図12: BCH(15,7)符号復号シフトレジスタ回路，
表6: G_1(x)とG_2(x)の余りから誤りビットを特定するシンドローム表
図17: RS(7,5)符号の１ブロックの様子
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古い情報処理技術者試験用のメモを処分するために，sys.pdf の作成は後回しにして，しばらく IT.pdf で割愛した事項の補遺の作成を優先します．
 仰角を求める作図 |
一般の季節，一般の時刻における太陽の仰角を作図で求めて見ましょう．
太陽光線が上の左端の図の方向にある場合，平面図を地軸に垂直にするために y 軸の回りに回転すると，中央左の図が得られます．必要な情報は地球の中心を頂点，緯線を底面とする円錐と円錐の頂点を通る光線の方向だけです --- この例に限らず，何が重要な情報かを考えさせることが大切です．
この図の光線が立画面と平行になるように地軸の回りに回転したのが上の中央右の図です．時刻を決めると緯線上の１点が定まり，この点と地球の中心を結ぶ青の矢印が法線方向を示します．この矢印と光線方向の（赤の）矢印のなす角が仰角の余角（＝直角－仰角）で，日の出と日の入りでは直角になります．仰角が日の出から南中時まで単調に増加し，その後日の入りまで単調に減少することも図から分かります．なお，春分と秋分では光線のベクトルは左端の立面図では点，他の立面図では水平です．
補足： 各時刻における仰角が分かれば透明半球上の太陽の位置を容易に作図できます．下図の左は日の出，日の入りと南中時の位置です．これらの作図には水色の三角形は不要です．上図右端の図は見難いのですが，立面図の赤，青，黒のベクトルの大きさを水色の三角形の辺の長さに等しくしています（円弧の交点と原点を結ぶ線が上側の赤い線）．下図の右は時刻と仰角から透明半球上の太陽の位置をもとめる作図です（赤の破線は右の直線，円弧，左の直線の順に決まります）．
透明半球上の太陽の位置の作図 [3] Q&A (edq01460)
[3] サン・アースくん
http://www.saga-ed.jp/workshop/edq01460/a-su/setumei/a-sukunn.htm
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太陽を固定した図 |
近くの中学校で生徒の自習をお手伝いして，「透明半球」を用いた説明を知りました．地球の「自転」，「公転」にご無沙汰して５０余年で，南中時の仰角を「南中高度」ということも知らず，逆に教えてもらいました．帰宅後，透明半球上に描かれる太陽の軌跡について考えましたので，塾や家庭教師のアルバイトをしている諸君への参考として紹介します．
xy 平面上に公転の軌道をとり，太陽を固定した図は簡単に描け，上記中央の図で各季節における日照時間を説明できます．朝日が出て夕日が沈むのが地平線（水平線）上であることは，どの季節でも太陽光線と垂直な大円上に来たとき，地面に立てた法線と太陽光線が垂直であることから分かります．仰角の変化は各時刻での（接平面でなく）法線と太陽光線のなす角を平面図と立面図を用いて説明した後，平面図と斜交するマッチ棒等を動かして実際の角度を空間的に示すと分かり易いと思います．南中高度が立面図に現れるのは夏至と冬至だけですが，一般に南中時に法線が大体太陽の方向を向いていることは図で説明できます．各法線での太陽の方向が分かれば，後は法線を共用した寄せ集め．
補足： 上図右のように地軸に垂直に平面図をとれば，太陽光線は斜めになりますが，法線は回転対称になるので作図しやすくなります．球面座標系は使用禁止ですが，法線と光線の単位ベクトルで作られる三角形の各辺の複面投象から仰角を求めることができます --- 線分の立面図と平面図から線分の長さが分かります．三角形の各辺の長さが分かれば角度が分かります．
[1] 透明半球 - Yahoo!知恵袋
http://chiebukuro.yahoo.co.jp/tag/tags.php?tag=%E9%80%8F%E6%98%8E%E5%8D%8A%E7%90%83
「透明半球」のタグが付けられた質問．指定されたタグが付いている質問の一覧です。
[2] 理科・透明半球で日の出・日の入り時刻の計算 : なるほどの素
http://blog.livedoor.jp/veritedesu/archives/1932070.html
| sys.pdf sys-s.pdf sys.txt 記事一覧 |
FIGURE.2 は z-mG(z) が脱落しています． |
#46: 符号化
m 次の多項式 G(z) を生成多項式とする巡回符号として，符号語 F(z) を F(z) = P(z)G(z) とする方式と
F(z) = zmP(z) + R(z)， R(z) = (zmP(z)) mod G(z)
とする方式があります．後者の場合も F(z) mod G(z) = R(z) + R(z) = 0 です．上図の回路の出力 z－mR(z) を P(z) に付加すると，後者の F(z) を遅延した z－mF(z) が得られます．
補足： 符号理論の昔の教科書・参考書には符号器の回路図と動作説明が述べられていました．符号器は線形ですが時不変ではなく，スイッチを用いて信号を切り換えます．切り換えのタイミングは文章かタイムチャートで説明するので回路図だけでは動作を記述しきれません．切り換えのタイミングも簡潔に明記されているのが上図の特徴ですが，#43 で述べたように，最近は汎用プロセッサによる処理を想定して回路図による説明が少なくなりました．sys.pdf では両側ｚ変換との連携は止めて，G(z) を G(x) に戻すかもしれません．
[4-46] 巡回符号
http://laputa.cs.shinshu-u.ac.jp/~yizawa/logic2/chap9/index.html
第９章 順序回路の応用（その３） －巡回符号の符号・復号回路－
[4-47] 5 章 誤り訂正技術の応用
http://www.ieice-hbkb.org/files/04/04gun_01hen_05.pdf
