２次元の信号

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(BAV%) 公式の作用素表示

sys-s.pdf に「２次元の信号」を追加しました．フーリエ変換の変数として角周波数の代わりに周波数を用いているので，上図のように公式の表現がすっきりします（M_a を含む式以外は１次元の場合にも同じ形で表現できます）．画像のディスプレイでは画面が画素として離散化されていますがFourier optics では連続系として扱わねばならず，フレネル回折を考えると画像かそのフーリエ変換かという区別も曖昧になってきます．

蛇足： ２次元の離散フーリエ変換を FXF（Xは画像の行列，Fは１次元の離散フーリエ変換）で表現することが多いのですが自然さに欠けます．画像を x^ij として，その離散フーリエ変換を X^kl = Σ_iΣ_j F^k_iF^l_jx^ij で表わすのも（すなおにn次元に拡張できますが）自己満足的で気が引けます．本文で２次元のフーリエ変換を F₁F₂ としたのは「F₁F₂を座標変換のように考えれば？」の表れです．

[1] フレネル回折からみたレンズの公式
  http://pulsar.blog.ocn.ne.jp/topics/B2010-01.pdf

フーリエ級数

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(BAR%) フーリエ級数とフーリエ変換

sys-s.pdf に「フーリエ級数とフーリエ変換」を追加しました．

補足： (%3)の周期が T のときの式は(%12)の周期が 2π の式に変数変換を行います．c_k に相当するのは(1/T)Y(2πk/T) です．また 2πk/T はωに，2π/T はdωに対応しています．(%32)のδはディラックのデルタ関数とよばれる超関数です．(%41)について補足すると，因果的な信号のフーリエ変換の虚数部は実数部のヒルベルト変換になっています（逆も同様）．

[1] フーリエ級数展開
  http://www.sci.hokudai.ac.jp/~inaz/doc/B/math/node15.html
[2] 12 フーリエ変換とディラックのデルタ関数
  http://www4.atpages.jp/redmagic/appliedmathematics/basic_analysys/12.pdf
[3] シュワルツ超関数 - Wikipedia
  http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%AF%E3%83%AB%E3%83%84%E8%B6%85%E5%87%BD%E6%95%B0
[4] 因果律
  http://www.yobology.info/text/Causality/causality.htm

ｚ変換

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(BAK%) ｚ変換

sys-s.pdf に「ｚ変換」を追加しました．

一般に通用しない記号が多いので，このブログの「微分方程式の近似」や「単振子の運動」を見ていない人には読みづらいかも知れません．双1次変換に関する説明のしわ寄せで，（通常の教科書，参考書に書かれている）多くの公式や重要事項が割愛されています．ラプラス変換のときと同様，積分による逆ｚ変換は言及のみです（留数による計算は math-s.pdf）．因果性や２次元の信号の処理は「フーリエ級数とフーリエ変換」で述べます．非線形常微分方程式に対する中点法は「非線形制御」での補遺で説明します．

 

ラプラス変換

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BAF%: ラプラス変換

sys-s.pdf に「ラプラス変換」を追加しました．(操作ミスのようで，初稿時は upload されていませんでした．)

・上記の { }_t は一般には通用しない記法ですが，L{e^-at} = 1 / (s + a) のような慣用記法の分かりにくさが緩和されています．
・インパルス応答はステップ応答の導関数として説明しました．δ関数，comb関数はフーリエ変換で言及します．両側ラプラス変換，因果関数の扱いは未定です．
・逆ラプラス変換は部分分数分解の例示で済ませています．ブロムウィッチ積分はこんな式があるよという程度の扱いです．正則関数については後日「まず覚える数学公式」の補遺で述べます．

世界の人口

記事一覧	[1]（米国勢調査局と国連データからの推計）

物言えば唇寒し秋の風. 
            インディラ・ガンジー

そして誰もいなくなった．
                   宇宙船地球号

[1] 世界の人口
  http://arkot.com/jinkou/
[2] 統計局ホームページ/世界の統計 第2章 人口
  http://www.stat.go.jp/data/sekai/02.htm
[3] 世界の人口爆発と少子高齢化
  http://www.geocities.jp/yamamrhr/ProIKE0911-88.html
[4] ？を！に...＞解説集＞＞増え続ける世界人口
  http://www.iae.or.jp/energyinfo/energydata/data1004.html
[5] 中国とインド③∼人口動態
  http://www004.upp.so-net.ne.jp/kadokura/rport20060108a.pdf
  インディラ・ガンジー政権の人口抑制策が失敗して以降、インドの歴代の政権では、
  人口抑制策を強化することがタブー視されるようになった。
[6] 砂漠化とその原因
  http://www.geocities.jp/soil_water_mitchy11/DesertCause.htm