GF(3)の拡大 (3)

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剰余類

３．剰余類

  有理数体上の多項式 P(x) を g(x) = x² + 1 で割った剰余を

    P(x) mod g(x) = r(x)

とすると，適当な多項式 Q(x) を用いて P(x) = Q(x)g(x) + r(x) 表現でき，

    (1 + 2 x)(3 + 4 x)(5 + 6 x) mod g(x) = 20 x + 35 mod g(x)

が成立します．したがって，g(x) を固定し，r(x) が等しい多項式の集合（剰余類）を

    [r(x)] = { P(x) | P(x) mod g(x) = r(x)}

で表わすと，(1 + 2 x)(3 + 4 x)(5 + 6 x) ∈ [20 x + 35] が成立します．

  この記法をGF(p)上の多項式にもそのまま適用します．例えば，GF(3)上の既約多項式 g(x) = x² + x + 2 の剰余類では

    0 ∈ [0],   1 ∈ [1],   x ∈ [x],   x² ∈ [2x + 1],   x³ ∈ [2x + 2],

    x⁴ ∈ [2],   x⁵ ∈ [2x],   x⁶ ∈ [x + 2],   x⁷ ∈ [x + 1],   x⁸ ∈ [1]

となり，0 以外のすべての剰余 a x + b に対して [a x + b] = [x^k] となる k の値が存在します．なお，c - d とは d + y = c となる y のことで，(-d) は (0 - d) を意味しますが，c - d = c + (-d) = c + (-1)d であることは容易に証明できます．GF(2)上の既約多項式 g(x) = x³ + x + 1 の剰余類は

    0 ∈ [0],   1 ∈ [1],   x ∈ [x],   x² ∈ [x2],   x³ ∈ [x + 1],

    x⁴ ∈ [x2 + x],   x⁵ ∈ [x2 + x + 1],   x⁶ ∈ [x2 + 1],   x⁷ ∈ [1]
   
になります．巡回符号の説明では g(α) = 0 となるαをそのまま使って多項式 x² + 1 に対応する拡大体の元を α² + 1 のように表していましたが，これは ∃k, α^k = 1 (α≠1) となる元がGF(2)には存在しないためで，GF(p) (p > 2)では，例えば (p - 1)² = (-1)² = 1 であり，前記のような (√2) も使えます．
  有理数体を g₁(x) = x² + 1 = 0 の根αで拡大し，さらに g₂(x) = x² - 2 = 0 の根βで拡大するような場合，α，βが混在する多項式よりもこれらを (√-1), (³√2) で置換した式（-1, 2 は有理数体の元）の方が『数らしく』見えます．