ぼんさい塾

ぼんさいノートと補遺に関する素材や注釈です.ミスが多いので初稿から1週間を経た重要な修正のみ最終更新日を残しています.

GF(3)の拡大 (3)

2014-03-06 13:48:08 | 暮らし
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                                     剰余類

3.剰余類

  有理数体上の多項式 P(x) を g(x) = x2 + 1 で割った剰余を

    P(x) mod g(x) = r(x)

とすると,適当な多項式 Q(x) を用いて P(x) = Q(x)g(x) + r(x) 表現でき,

    (1 + 2 x)(3 + 4 x)(5 + 6 x) mod g(x) = 20 x + 35 mod g(x)

が成立します.したがって,g(x) を固定し,r(x) が等しい多項式の集合(剰余類)を

    [r(x)] = { P(x) | P(x) mod g(x) = r(x)}

で表わすと,(1 + 2 x)(3 + 4 x)(5 + 6 x) ∈ [20 x + 35] が成立します.

  この記法をGF(p)上の多項式にもそのまま適用します.例えば,GF(3)上の既約多項式 g(x) = x2 + x + 2 の剰余類では

    0 ∈ [0],   1 ∈ [1],   x ∈ [x],   x2 ∈ [2x + 1],   x3 ∈ [2x + 2],

    x4 ∈ [2],   x5 ∈ [2x],   x6 ∈ [x + 2],   x7 ∈ [x + 1],   x8 ∈ [1]

となり,0 以外のすべての剰余 a x + b に対して [a x + b] = [xk] となる k の値が存在します.なお,c - d とは d + y = c となる y のことで,(-d) は (0 - d) を意味しますが,c - d = c + (-d) = c + (-1)d であることは容易に証明できます.GF(2)上の既約多項式 g(x) = x3 + x + 1 の剰余類は

    0 ∈ [0],   1 ∈ [1],   x ∈ [x],   x2 ∈ [x2],   x3 ∈ [x + 1],

    x4 ∈ [x2 + x],   x5 ∈ [x2 + x + 1],   x6 ∈ [x2 + 1],   x7 ∈ [1]
   
になります.巡回符号の説明では g(α) = 0 となるαをそのまま使って多項式 x2 + 1 に対応する拡大体の元を α2 + 1 のように表していましたが,これは ∃k, αk = 1 (α≠1) となる元がGF(2)には存在しないためで,GF(p) (p > 2)では,例えば (p - 1)2 = (-1)2 = 1 であり,前記のような (√2) も使えます.
  有理数体を g1(x) = x2 + 1 = 0 の根αで拡大し,さらに g2(x) = x2 - 2 = 0 の根βで拡大するような場合,α,βが混在する多項式よりもこれらを (√-1), (3√2) で置換した式(-1, 2 は有理数体の元)の方が『数らしく』見えます.



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