ディジタルフィルタ (8)

sys.pdf sys-s.pdf sys.txt 記事一覧

[3-35] 双１次変換

ディジタルフィルタの設計に関する説明は [#37] だけで，かつ極めて簡単になってしまいました．伝達関数が与えられたときの回路の構成については[3-1], [3-2]等で説明されていますから，ここでは帯域制限用のフィルタの伝達関数の設計例について述べます．詳細は下記の資料等をご覧下さい．

帯域制限フィルタとは，信号の所定の周波数成分はそのまま通過させ，その他の成分は阻止するフィルタで，その典型が[#37]の理想低域通過フィルタです．任意の遮断周波数に対する低域通過フィルタを設計できれば，それを用いて高域通過フィルタ，帯域通過フィルタを設計できます．

理想低域通過フィルタは本質的に（因果的な回路による）実現が不可能なのでこの伝達関数を近似する伝達関数を考えます．画像を走査した信号のように波形の歪を抑えたいときは直線位相に近い伝達関数（例．バターワースフィルタ）を考え，音声のように位相歪はあまり問題にならないときは遮断特性のすぐれた伝達関数（例．チェビシェフフィルタ）を考えます．

３次のバターワースフィルタの伝達関数を H₃(s) とすると

　　| H₃(s) |² = 1 / (1 + (s/jω_c)⁶)

であり，ω_c = 1 と正規化したときの右辺の極のうち s の左半平面にあるものを集めたのが[#37] の ｓ の有理式で，この式に s = (z - 1)/(z + 1) を代入した[#37]の H(z) が ω_c = 1 の３次のアナログのバターワースフィルタを双１次変換した伝達関数です．

補足： 静止画像の処理では２次元のｚ変換，２次元のディジタルフィルタが用いられます．お薦めの書物はいくつかありますが，Google の検索では詳しい解説を見つけられませんでした([3-36]は専門的な論文の例)．

[3-33](再掲) ディジタルフィルタ
  http://ufcpp.net/study/digital_filter/
  バターワースフィルタ，チェビシェフフィルタ，逆チェビシェフフィルタ，楕円フィルタ
  チェビシェフ有理関数
[3-35] ディジタルフィルタ設計
  http://www3.bpe.es.osaka-u.ac.jp/~nakamura/Filter.pdf
  フーリエ級数展開法，周波数サンプリング法； インパルス不変法，双１次変換法．
  アナログフィルタの伝達関数（バターワース，チェビシェフ，楕円）
------------------
[3-36] LMSアルゴリズムを用いた2次元再帰形適応フィルタ
  http://opac.lib.yamanashi.ac.jp/metadb/up/yamanashi/KJ00000158550.pdf

ディジタルフィルタ (7)

sys.pdf sys-s.pdf sys.txt 記事一覧

周波数応答(#36)

線形時不変な回路 T では正弦波を入力すると同じ周波数の正弦波が出力されます．式で書くと u(t) = sin(ωt+φ) を入力したときの出力を (Tu)(t) = A sin(ωt+φ+θ) と表現することができます．例えば u(t) = sin(ωt) のときは (Tu)(t) = A sin(ωt+φ)，u(t) = cos(ωt) のときは (Tu)(t) = A cos(ωt+φ) です．実際の入出力信号は実数であることが多いのですが，仮想的に入力信号が u(t) = cos(ωt) + i sin(ωt) ( i² = －1 ) のときの出力は (Tu)(t) = A cos(ωt+θ) + i A sin(ωt+θ) であると考えると，入出力関係は

  u(t) = e^iωt のとき (Tu)(t) = A e^i(ωt+θ) = A e^iθu(t)

という簡潔な形で表現できます．離散的な回路の場合も同様です．伝達関数が H(z) である回路に対して H(e^iω) = A e^iθ とおくと，仮想的な入力 e^iωt に対する出力は A e^iθe^iωt と表現できます．本文には明記しませんでしたが，ωは－∞＜ω＜∞ の範囲で考えます．ω' = －ω のときの入力 e^－iωt に対する出力は A e^－iθe^－iωt です（ H(e^－iω)= A e^－iθ ）．回路は線形ですから

  入力 (1/2){e^iωt + e^－iωt} に対する出力は (1/2){A e^iθe^iωt + A e^－iθe^－iωt}

すなわち，上図の入出力関係が得られます．

参考： 一般に Tu = λu ( u ≠ 0 )となる定数λを T の固有値，u をλの固有関数といいます．上記の A，θはωに依存しますが，ωが定数であればこれらも定数で Tu = A e^iθu は Tu = λu の形をしています．T は角周波数ωの正弦波の振幅を A 倍し，位相を θ だけ進めます．

ディジタルフィルタ (6)

sys.pdf sys-s.pdf sys.txt 記事一覧

ｚ変換での初期値の扱い

sys.pdf では逆ｚ変換の計算法は割愛しました(具体例は(@35))．収束領域や両側ｚ変換とともにsys-s.pdf で説明します．ここでは漸化式をｚ変換するときの初期値の扱い方について補足します．ラプラス変換では初期値を自動的に組み込めるのにｚ変換ではそうなっていないことに不満を感じている人の参考になれば幸いです．

(#33)の漸化式 w₂(n+1) = w₁(n) のｚ変換 W₂(z) = w₂(0) + z^-1W₁(z) は上図と同様の式を並べて辺々加算すれば得られます．遅延素子の初期値は漸化式と関係なく設定されても，w₂(0) = w₂(0) のような恒等式を置けば (複数個の遅延素子があっても) 対処できるのがポイントです．

参考： http://pulsar.blog.ocn.ne.jp/IEICE/NOLTA2001.pdf のように (q+)z^-1W₁(z) = q + z^-1W₁(z) となる作用素 (q+) を定義して，非零の初期値をもつ遅延素子を (q+)z^-1 でモデル化することもできます．

ディジタルフィルタ (5)

sys.pdf sys-s.pdf sys.txt 記事一覧

線形時不変な回路

「ディジタルフィルタ (1)」で「線形時不変」の意味は[3-1]を見てくださいと述べましたが，中学生にでも分かる説明を付け加えます．

自動販売機で1缶100円の缶ジュースを買う場合，沢山買っても割り引いてくれません．例えば，50缶買うには5000円必要です．また，自動販売機には特売日はありません．倉庫に在庫が大量にあっても値段は変わりません．いつ買っても，いくつ買っても単価が変わらないので，必要な金額がすぐ分かります．自動販売機は線形時不変な装置です．これに対して，スーパーのように個数や日時によって単価が変わる場合は線形でも時不変でもないので，実際に行ってみなければ必要な金額が分かりません．線形時不変でない装置は概して設計も面倒です．

[3-1]の説明や上図の式も主張している内容は非常に素直です．表現がもったいぶっていると感じる人がいるかも知れませんが，我慢して慣れれば簡潔な表現を愛用するようになると思います．上図は sys.pdf [#30] からの引用ですが，回路 T が時不変であることを T D_b = D_b T で表しています．分かり易く書けば「u(t) を入力したときの出力を v(t) とすると，u(t-b) を入力したときの出力を v(t-b) で表せる回路が時不変」ですが，遅延作用素 D_b を考えるとラプラス変換の e^-bs， ｚ変換の z^-k と対応させやすくなります．

補足： 都合により，sys.pdf の第１章，第２章の文字の使い方を変更しました．x，y を離散信号に用い，アナログ信号には u, v を使います．(ユニットステップ関数には言及しません．補遺では Λ(t≧0) のような２値関数にします．)  上図の u はこの変更を反映したものです．なお制御理論では(連続系，離散系ともに)入力ベクトルに u， 状態ベクトルに x を用います．

日本の借金時計

記事一覧	[1] 借金時計 (もちろん本物は動いています)

"看板"の下の文章を変えました（無利子の国債には外資ファンドは手を出しにくくなります．日銀引受より健全で，無利子同然の定期預金より我々の役に立ちます）．「節税にならない」の意味はこちら．

復興財源，原発対策，円高・産業空洞化等について私も素人なりに危機感を抱いています．勉強に忙しい諸君も，たまには気分転換に経済の記事を眺めませんか．解が分からない問題に対する多様な見解は参考になると思います．

質問： [6]のデータを見て「インフレ已むなし」と考えますか，それとも・・・

[1] 日本の借金時計 - 財部誠一  ＜ 「サンデープロジェクト」でお馴染みだった方
  http://www.takarabe-hrj.co.jp/clockabout.html
  日本の借金：876兆2834億．国民一人当たりの負担額は683万1955円（2011年4月1日時点）。
[2] 国債 - Wikipedia
  http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%BD%E5%82%B5
  国債は他の債券同様に発行された後でも市場で売買できるため、価格は常に変動している。
[3] 日本の個人金融資産は過大評価、正味金融資産は466兆円 ／jp.reuters ...
  http://www.asyura2.com/11/hasan72/msg/304.html
 「家計資産総額」から不動産等を差し引いた1400兆円には個人事業主の事業性資金が含まれる。
 個人金融資産について2009年の全国消費実態調査結果を基に試算すると、個人金融資産総額は
 672兆円で、負債は206億円、正味金融資産は466兆円。
[4] 国家破綻研究ブログ : 国の債務残高（特別会計含まず） 846兆円→924兆 ...
  http://gijutsu.exblog.jp/8314188/
  「ペーパーマネーを増刷して、それをばら撒けば良いではないか？不景気では、産業部門も
  家計部門も通貨を退蔵するばかりなので、金利は上がらないし、インフレにもならない。
  一万円札をタンスにしまう人がいるなら、その分を補填しなければ、経済が回らない」という
  意見があります。何度も書きますが、実体経済を無視した意見でしょう。
[5]『日本の借金時計』の悪質な宣伝手法：イザ！
  http://akiran1969.iza.ne.jp/blog/entry/1664976/
  日本の財政は政府の借金こそ多いが、日本国全体としては何の問題もなく『財政破綻論は幻覚である』
  とこのブログでも何回も訴えてきた。それを目で見て実感できる図を見つけた。
[6] 2014年度には国債利払い費が税収の3割超：財務省 - 役所だって ...
  http://blogs.yahoo.co.jp/mimasatomo/37766995.html
  ・財務省の後年度影響試算をもとに計算すると、14年度には利払い費の割合が32％、
  国債費の割合が63％程度に達する。