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既約多項式の根

５．剰余環

  GF(p)上の一般の多項式 P₀(x) についても

    [P₀(x)] = { P(x) | (P(x) - P₀(x)) mod g(x) = 0 }

と定め，剰余類間の演算を

    [P₁(x)] + [P₂(x)] = [P₁(x) + P₂(x)]
    [P₁(x)]・[P₂(x)] = [P₁(x)P₂(x)]

と定義すると，剰余類の集合は環になり，これを剰余環といいます．[P₀(x)] は P₀(x) の関数ですが，P(x) ∈ [P₀(x)] は P(x) = P₀(x) + Q(x)g(x) ( Q(x)g(x) ∈ [0] ) を意味しますから，慣習的に

    [P₀(x)] = P₀(x) + [0]

とも書きます（右辺の意味を左辺で定義していると考えてください）．[0] は g(x) で割り切れる多項式の集合で，加法に関する単位元，[1] は剰余が１になる多項式の集合で，乗法に関する単位元になっています（g(x)がm次の多項式の場合，剰余環は [1], [x], ・・・, [x]^m-1 を基底とする線形空間）．

  この記法を用いると，[x]・[x] = [x²] は (x + [0])・(x + [0]) = x² + [0] と表現され，P₀([x])=[P₀(x)] であることが

   Σ_k a_k (x + [0])^k = Σ_k a_k x^k + [0] = [Σ_k a_k x^k]

から分かります．とくに P₀(x) = g(x) の場合 g(x) ∈ [0] ですから g([x]) = [0] が成立します．体 K 上の既約多項式g(x)には g(x) = 0 (x ∈ K)となる x は存在しませんが， 剰余環における g([x]) = [0] と対応していて，剰余環上での演算には文句のつけようがありません．剰余類 [x] に対応するのが K に属さない拡大体の元 x で，既約多項式を明示しなくても分かるように工夫した x の表現が (√-1), (³√2) 等です．
※ (³√2) の括弧は上付き数字の「3」が直前の式の3乗でなく，「√」のバーが「)」の直前まで伸びていることを表します．この括弧は剰余類とは関係ありません．