GF(3)の拡大 (2)

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GF(3) での計算

2 の平方根等を 2^1/2 等のように表すのは見難いので，以下では (√2) 等のように表現します．2 の 4 乗根は (⁴√2) です．

２．GF(p)の２次の拡大

  まず，GF(2) 上の既約多項式 g(x) = x² + x + 1 で拡大して作られる GF(2²) について復習しましょう（g(0) = g(1) = 1 で，g(x) = 0 となる x の値は GF(2) 上に存在しないので g(x) は既約多項式)．GF(2)上の多項式 P(x) についても

    P(x) = Q(x)g(x) + a x + b

と書き換え，g(α) = 0 となるαの存在を仮定すると P(α) は aα + b に等しくなり，同じ数を表していると考えます．a, b の値は 0, 1 しかないので，P(α) は 0, 1, α, α + 1 のいずれかに等しく， α(α + 1) = 1 すなわち α の逆元は α + 1 です．また，α³ = 1 なので α = (³√1) と考えることもできます．（差し替え）

  次に，GF(3)上の多項式 g(x) = x² + 1 を考えます．g(0) = 1, g(1) = g(2) = 2 ですから，この g(x) も既約多項式です．GF(2) の場合と同様に

    P(x) = Q(x)g(x) + a x + b

と書き換え，g(α) = α² + 1 = α² - 2 = 0 と仮定すると P(α) は aα + b に等しくなります．ここで，α = (√2) とおくと，

   α² = 2, α³ = α² α = 2 (√2), α⁴ = α² α² = 1

   (a (√2) + b) + (c (√2) + d) = (a + c)(√2) + (b + d)

   (a (√2) + b) (c (√2) + d) = (a d + b c)(√2) + (2 a c + b d)

が得られます．(a (√2) + b) (a (√2) + 2 b) = 2(a² + b²) ∈ GF(3) ですから

   (a(√2) + b)^-1 = 2^-1 (a² + b²)^-1(a (√2) + 2 b)

です．GF(3) の元として 2 の代わりに (-1) を用いると α = (√-1) で，

   α² = -1, α³ = α² α = (-1)(√-1), α⁴ = α² α² = 1
   (a(√-1) + b)^-1 = (-1) (a² + b²)^-1 (a (√-1) + (-1) b)

となって，有理数体を x² + 1 = 0 の根で拡大したときの表現に近づきます．このような性質はGF(2)では縮退が著しく想像が困難です．β = (-1)α + 1 とおくと β² = α なので，形式的に β = (⁴√-1) と書いても不自然ではありません．後述するように 0 以外の GF(3²) の元は β^k の形で表現でき，β^k の逆元は β^8-k です．