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 コーシーの主値 |
R2012-07.pdf に 3.1節（実積分の Cauchy の主値）を追加しました．単位ステップ関数のフーリエ変換を示す公式
F{u(t)} = 1/jω + πδ(ω)
は，u(t) を直流と奇関数の和に分解して後者にコーシーの主値積分を施して証明できます（[1-3] pp.47-48）．
補足：(1) 奇関数 u(t) - 1/2 に exp(-jωt) をかけると奇関数でなくなり，主値が 1/jω になります．
(2) 主値積分の妥当性は説明不能．応用例によります．[%3] で紹介した f(t) = 1 / t2 の主値積分が -2 となるのは 1 / (t2 + ε2) の極限と考えると理解し難いのですが，1 / (t2 - ε2) の極限と合わせて考えれば納得できます．
※ 地球を球と考え，原点が地球の南極と接する複素平面上の１点と北極を通る直線は地球と２点で交わります．複素平面上の点が原点から無限に遠ざかると２交点は限りなく接近します．このようなモデルでは ＋∞ と －∞ は同じ点（無限遠点）に対応します．
[6-1] コーシーの主値 - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%81%AE%E4%B8%BB%E5%80%A4
[6-2] 第 6 章 複素積分の応用 (p.6)
http://coral.t.u-tokyo.ac.jp/fujiwara/Mathematics-2/Ch6.pdf
[6-3] [対話]ローラン展開と留数・主値積分について (P.22)
http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/LaurantExpand.pdf
[6-4] コーシーの主値(主値積分): TOSHIの宇宙
http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2009/07/post-a9e7.html
[6-5] コーシーの主値積分の意味 | OKWave
http://okwave.jp/qa/q7473948.html
[6-6] Viola Siderea ≫ Blog Archive ≫ ステップ関数のフーリエ変換
http://violasiderea.divb.net/archives/114
[6-7] 単位ステップ関数のフーリエ変換の証明 | OKWave
http://okwave.jp/qa/q2444050.html