有限体の拡大

sys-s.pdf 用の「有限体の拡大」( http://www18.ocn.ne.jp/~pulsar/tmp/sys-E2S.pdf )を補足したブログ記事「GF(3)の拡大」 を pdf 化した
  http://pulsar.blog.ocn.ne.jp/topics/B2014-03.pdf 
を作りました．剰余類の記号が違いますが，括弧，バーのいずれも使われているようです（バーの方が省スペース）．

これらの資料は GF(2）から GF(2^m）への拡大では分かり難かった有理数体の拡大を学ぶための橋渡しを意図していますので，[x] と α を同一視することに違和感が無くなれば，B2014-03.pdf の内容は忘れてください．
※ 数学書を読むには「同一視」に慣れることが必至です．典型例は双対空間で，『ベクトル空間 x 上の線形汎関数が作る空間を x* としたとき，x* 上の線形汎関数が作る空間 (x*)* を x と同一視する』ことです．「(x*)* = x」が数学者の常識 --- 難しいですね （行ベクトルと列ベクトルの具体例なら高校生でもわかるのですが）．

補足：(1)B2014-03.pdf では sys-E2S.pdf の K[x]/(g(x)) についての説明を割愛しましたが，(g(x)) は g(x) で割り切れる多項式の集合で，B2014-03.pdf の [0] のことです（[0], [1] は g(x) に依存するので，丁寧に書けば例えば [0]_gや [1]_g）．K[x]/(g(x)) の表現は除算のように見え，名称も商環（体になれば商体）です．
(2) K[x]/(g(x)) をさらに g'(y)＝0 等の根で拡大するときも多項式のままで議論できます --- Kが有理数体で，g(x) = x³ - 2, g'(y) = y² + 1 のとき，剰余類がなす線形空間の基底は [1], [x], [y], [xy], [x²], [x²y] （x = (³√2), y = (√-1)）で，[0] は g(x)g'(y) で割り切れる多項式の集合.
(3) 有理数体を拡大するときは，逆元の存在に B2014-03.pdf のような論法は使えません．

 

GF(3)の拡大 (5)

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素人の私見

６．商体

  GF(p)上のどの多項式g(x)も g(x)h(x) = xⁿ - 1 となる n, h(x) が存在します．
これらを GF(3)上の g(x) = x² + x + 2 の場合について実際に求めてみましょう．
1/g(x) を GF(3)上の除算で求めると

                  1 2 2 0 2 1 1 0
               +---------------------
        1 1 2  )  1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
                  1 1 2
                 ---------   
                    2 1 0
                    2 2 1
                   ---------
                      2 2 0
                      2 2 1
                     ---------
                        0 2 0
                        0 0 0
                       ---------
                          2 0 0
                          2 2 1
                         ---------
                            1 2 0
                            1 1 2
                           ---------
                              1 1 0
                              1 1 2
                             -------
                                  1

になり，これから

    g(x)h(x) = x⁸ - 1

    h(x) = x⁶ + 2 x⁵ + 2 x⁴ + 2 x² + x + 1

であることが分かります．除算の途中で現れる剰余はGF(3)上の1次の多項式なので有限回の減算で必ず１に戻ります（途中で割り切れたと仮定すると，x^k = g(x)h₀(x) となり，g(0) ≠ 0 だから h₀(0) = 0, したがって h₀(x) = x h₁1(x), x^k-1 = g(x)h₁(x) ・・・ ）.

  g(x)h(x) = x⁸ - 1 であるということは， x⁸ - 1 ∈ [0] を意味します．したがって,

     x^8+k + [0] = x^k + [0]

が成立し，0 でない元 x^k + [0] (0 ≦ k ＜ 8) は（乗法の）逆元 x^8-k + [0] を持つので，この剰余環は体になっています．和を求めるときは，次のように剰余多項式で計算します．

    (x⁶ + x⁷) + [0] = ((x + 2) + (x + 1)) + [0] = 2 x + [0] = x⁵ + [0]

g(x) = x2 + 1 もGF(3)上の既約多項式です．この場合は

    g(x)(x² + 1) = x⁴4 - 1,   x^4+k + [0] = x^k + [0]

であり，剰余類は [0],  1 + [0],  x + [0],  2 + [0],  2 x + [0] の5個しかありません．α² + α + 2 = 0, β = α² とすると β² + 1 = α⁴ + 1 = 2 + 1 = 0 ですから，βは x² + 1 = 0 の根になっています．また，g(x) = x² + 2 は既約多項式でないので (x + 1) + [0] ≠ [0], (x + 2) + [0] ≠ [0], (x + 1)(x + 2) + [0] = [0] になってしまいます（a が体の元で，a b = 0, a ≠ 0 のときは a^-1 a b = b = 0 となりますが，環では a^-1 の存在が保証されません）．



７．むすび

  GF(p^m)(p > 2)では原始根を 2^1/4, 2^1/13, 4^1/12 のように表せますが，GF(2^m)のときは GF(2)の元が 0, 1 しかないため，このような形で表現できません．GF(2^m) の原始根をαとおいて各元をαのままの式で表わすと，対応する剰余類の多項式表現と区別しにくいのですが，逆に言えば，巡回符号を学んでこのような表現に慣れている人は，剰余類との対応で環の元としての存在を保証されているという基礎事項を実感していると言えます．なお，数学書では「g([α]) = [0]」の意味で「g(α) = 0」と書くことも多いようですが，「g(α) = 0」をGF(p)に属さない数αが満足する式と解釈し，剰余類と数を (P(x) + [0] と P(α) のように) つねに表記上でも区別する方が分かり易いと思います．
  謝辞： 有益なご助言を頂いた林彬先生（元 金沢工大），中島匠一先生（学習院大）に感謝します．
 

GF(3)の拡大 (4)

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既約多項式の根

５．剰余環

  GF(p)上の一般の多項式 P₀(x) についても

    [P₀(x)] = { P(x) | (P(x) - P₀(x)) mod g(x) = 0 }

と定め，剰余類間の演算を

    [P₁(x)] + [P₂(x)] = [P₁(x) + P₂(x)]
    [P₁(x)]・[P₂(x)] = [P₁(x)P₂(x)]

と定義すると，剰余類の集合は環になり，これを剰余環といいます．[P₀(x)] は P₀(x) の関数ですが，P(x) ∈ [P₀(x)] は P(x) = P₀(x) + Q(x)g(x) ( Q(x)g(x) ∈ [0] ) を意味しますから，慣習的に

    [P₀(x)] = P₀(x) + [0]

とも書きます（右辺の意味を左辺で定義していると考えてください）．[0] は g(x) で割り切れる多項式の集合で，加法に関する単位元，[1] は剰余が１になる多項式の集合で，乗法に関する単位元になっています（g(x)がm次の多項式の場合，剰余環は [1], [x], ・・・, [x]^m-1 を基底とする線形空間）．

  この記法を用いると，[x]・[x] = [x²] は (x + [0])・(x + [0]) = x² + [0] と表現され，P₀([x])=[P₀(x)] であることが

   Σ_k a_k (x + [0])^k = Σ_k a_k x^k + [0] = [Σ_k a_k x^k]

から分かります．とくに P₀(x) = g(x) の場合 g(x) ∈ [0] ですから g([x]) = [0] が成立します．体 K 上の既約多項式g(x)には g(x) = 0 (x ∈ K)となる x は存在しませんが， 剰余環における g([x]) = [0] と対応していて，剰余環上での演算には文句のつけようがありません．剰余類 [x] に対応するのが K に属さない拡大体の元 x で，既約多項式を明示しなくても分かるように工夫した x の表現が (√-1), (³√2) 等です．
※ (³√2) の括弧は上付き数字の「3」が直前の式の3乗でなく，「√」のバーが「)」の直前まで伸びていることを表します．この括弧は剰余類とは関係ありません．

 

GF(3)の拡大 (3)

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剰余類

３．剰余類

  有理数体上の多項式 P(x) を g(x) = x² + 1 で割った剰余を

    P(x) mod g(x) = r(x)

とすると，適当な多項式 Q(x) を用いて P(x) = Q(x)g(x) + r(x) 表現でき，

    (1 + 2 x)(3 + 4 x)(5 + 6 x) mod g(x) = 20 x + 35 mod g(x)

が成立します．したがって，g(x) を固定し，r(x) が等しい多項式の集合（剰余類）を

    [r(x)] = { P(x) | P(x) mod g(x) = r(x)}

で表わすと，(1 + 2 x)(3 + 4 x)(5 + 6 x) ∈ [20 x + 35] が成立します．

  この記法をGF(p)上の多項式にもそのまま適用します．例えば，GF(3)上の既約多項式 g(x) = x² + x + 2 の剰余類では

    0 ∈ [0],   1 ∈ [1],   x ∈ [x],   x² ∈ [2x + 1],   x³ ∈ [2x + 2],

    x⁴ ∈ [2],   x⁵ ∈ [2x],   x⁶ ∈ [x + 2],   x⁷ ∈ [x + 1],   x⁸ ∈ [1]

となり，0 以外のすべての剰余 a x + b に対して [a x + b] = [x^k] となる k の値が存在します．なお，c - d とは d + y = c となる y のことで，(-d) は (0 - d) を意味しますが，c - d = c + (-d) = c + (-1)d であることは容易に証明できます．GF(2)上の既約多項式 g(x) = x³ + x + 1 の剰余類は

    0 ∈ [0],   1 ∈ [1],   x ∈ [x],   x² ∈ [x2],   x³ ∈ [x + 1],

    x⁴ ∈ [x2 + x],   x⁵ ∈ [x2 + x + 1],   x⁶ ∈ [x2 + 1],   x⁷ ∈ [1]
   
になります．巡回符号の説明では g(α) = 0 となるαをそのまま使って多項式 x² + 1 に対応する拡大体の元を α² + 1 のように表していましたが，これは ∃k, α^k = 1 (α≠1) となる元がGF(2)には存在しないためで，GF(p) (p > 2)では，例えば (p - 1)² = (-1)² = 1 であり，前記のような (√2) も使えます．
  有理数体を g₁(x) = x² + 1 = 0 の根αで拡大し，さらに g₂(x) = x² - 2 = 0 の根βで拡大するような場合，α，βが混在する多項式よりもこれらを (√-1), (³√2) で置換した式（-1, 2 は有理数体の元）の方が『数らしく』見えます．

GF(3)の拡大 (2)

sys.pdf sys-s.pdf 記事一覧 2013-03-18：差し替え

GF(3) での計算

2 の平方根等を 2^1/2 等のように表すのは見難いので，以下では (√2) 等のように表現します．2 の 4 乗根は (⁴√2) です．

２．GF(p)の２次の拡大

  まず，GF(2) 上の既約多項式 g(x) = x² + x + 1 で拡大して作られる GF(2²) について復習しましょう（g(0) = g(1) = 1 で，g(x) = 0 となる x の値は GF(2) 上に存在しないので g(x) は既約多項式)．GF(2)上の多項式 P(x) についても

    P(x) = Q(x)g(x) + a x + b

と書き換え，g(α) = 0 となるαの存在を仮定すると P(α) は aα + b に等しくなり，同じ数を表していると考えます．a, b の値は 0, 1 しかないので，P(α) は 0, 1, α, α + 1 のいずれかに等しく， α(α + 1) = 1 すなわち α の逆元は α + 1 です．また，α³ = 1 なので α = (³√1) と考えることもできます．（差し替え）

  次に，GF(3)上の多項式 g(x) = x² + 1 を考えます．g(0) = 1, g(1) = g(2) = 2 ですから，この g(x) も既約多項式です．GF(2) の場合と同様に

    P(x) = Q(x)g(x) + a x + b

と書き換え，g(α) = α² + 1 = α² - 2 = 0 と仮定すると P(α) は aα + b に等しくなります．ここで，α = (√2) とおくと，

   α² = 2, α³ = α² α = 2 (√2), α⁴ = α² α² = 1

   (a (√2) + b) + (c (√2) + d) = (a + c)(√2) + (b + d)

   (a (√2) + b) (c (√2) + d) = (a d + b c)(√2) + (2 a c + b d)

が得られます．(a (√2) + b) (a (√2) + 2 b) = 2(a² + b²) ∈ GF(3) ですから

   (a(√2) + b)^-1 = 2^-1 (a² + b²)^-1(a (√2) + 2 b)

です．GF(3) の元として 2 の代わりに (-1) を用いると α = (√-1) で，

   α² = -1, α³ = α² α = (-1)(√-1), α⁴ = α² α² = 1
   (a(√-1) + b)^-1 = (-1) (a² + b²)^-1 (a (√-1) + (-1) b)

となって，有理数体を x² + 1 = 0 の根で拡大したときの表現に近づきます．このような性質はGF(2)では縮退が著しく想像が困難です．β = (-1)α + 1 とおくと β² = α なので，形式的に β = (⁴√-1) と書いても不自然ではありません．後述するように 0 以外の GF(3²) の元は β^k の形で表現でき，β^k の逆元は β^8-k です．