『天球の歩き方 計算編』#5 〜冬のダイヤモンドはどんな六角形か〜

今回は、冬のダイヤモンドの形状について、調べてみます

冬のダイヤモンドは、オリオン座のリゲル、大犬座のシリウス、小犬座のプロキオン、双子座のポルックス、馭者座のカペラ、牡牛座のアルデバランを繋いでできる六角形で、都会でも大気の状態が落ち着いている夜ならば、容易に見つけることができます

ただ、六角形を結んでいく際に、ポルックスかカストルだったかなと、迷うことがあります。

ポルックスは1.14等星、カストルは1.58等星で、ポルックスの方が1.5倍だけ明るい^注1ので、明るい方（正中したとき、左側の方）のポルックスを選べばよいわけですが、なぜか、カストルの方を選びたくなるのです。

注1) 10^｛(1.58-1.14)/5*2｝=1.50

 

1. ６つの恒星の位置

計算では、リゲル、シリウス、プロキオン、ポルックス、カペラ、アルデバランを、それぞれ恒星A〜Fとします。

それぞれの赤径RA及び赤緯Decは、下記の通りです（元期 J2000.0）。

リゲル：(RA, Dec)=(5^h 14^m 32.27210^s, -8° 12′ 05.8981″)

シリウス：(RA, Dec)=(6^h 45^m 8.91728^s, -16° 42′ 58.0171″)

プロキオン：(RA, Dec)=(7^h 39^m 18.11950^s, +5° 13′ 29.9552″)

ポルックス：(RA, Dec)=(7^h 45^m 18.94987^s, +28° 01′ 34.3160″)

カペラ：(RA, Dec)=(5^h 16^m 41.35871^s, +45° 59′ 52.7693″)

アルデバラン：(RA, Dec)=(4^h 35^m 55.23907^s, +16° 30′ 33.4885″)

 

2.各辺の長さと各内角の計算

まず、６辺の長さを求めます。【基本計算式１】を用いれば、

リゲル〜シリウスの角距離θ_AB=23.6732°

シリウス〜プロキオンの角距離θ_BC=25.7014°

プロキオン〜ポルックスの角距離θ_CD=22.8459°

ポルックス〜カペラの角距離θ_DE=34.2370°

カペラ〜アルデバランの角距離θ_EF=30.6899°

アルデバラン〜リゲルの角距離θ_FA=26.4930°

と計算されます。６辺のうち最短であるプロキオン〜ポルックスの角距離を1とすると、各辺の長さの比率は、以下のとおりとなります。

リゲル〜シリウス（辺AB）：1.0362

シリウス〜プロキオン（辺BC）：1.1250

プロキオン〜ポルックス（辺CD）：1.0

ポルックス〜カペラ（辺DE）：1.4986

カペラ〜アルデバラン（辺EF）：1.3433

アルデバラン〜リゲル（辺FA）：1.1596

うーん、辺DEや辺EFが、少し長めなのですね。冬のダイヤモンドは均整のとれた正六角形ではなく、カペラが、ちょっと離れているようです。見た目には、結構、バランスのよい六角形と思っていましたが

次に、６つの内角を計算します。リゲルにおける内角φ_Aは三角形FABに【基本計算式５】を適用して求めます。同様に計算していくと、

リゲルにおける内角φ_A=134.3932°

シリウスにおける内角φ_B=104.2132°

プロキオンにおける内角φ_C=152.2901°

ポルックスにおける内角φ_D=127.9156°

カペラにおける内角φ_E=90.7941°

アルデバランにおける内角φ_F=144.2187°

が得られます。相対する内角の値は近い（134.4°と127.9°、104.2°と90.8°、152.3°と144.2°）ようです。

以上の計算結果を手持ちの写真で説明すると、こんな感じになります（写真画像なので歪曲収差があります）。

ちょっと歪んだ六角形ですね。

ここで、相対する辺の平行度合いを調べてみましょう。

実は、観測者からみたとき、天球上にある異なる２本の直線（＝２つの大円）は、どうやっても平行にはなりません。なぜなら、異なる２つの大円は必ず２点で交わってしまうからです。これは、平面上のユークリッド幾何学とは異なる非ユークリッド幾何学の特徴のひとつです。

でも、私たちが、天空の星々を繋いだとき、平行っぽく見える部分があるのも確かです。そこで、ここでは、例えば、辺CDと辺AFが平行に見えるかどうかを、「線分ACと線分FDの長さが同じくらいか」によって判定することにします^注2。おそらく、私たちは、そんな感じで平行性を認識していると思います（左図）。

注2) 点A及び点Fから直線CDにおろした垂線の足を、それぞれ点Q、点Rとし、線分AQと線分FRの長さを比較するという方法もよいかと思います（右図）。

それぞれの線分の長さは、【基本計算式１】を用いて計算します。

線分ACの長さ：38.5111°、線分DFの長さ：45.0128°

線分BDの長さ：47.0537°、線分EAの長さ：54.2081°

線分CEの長さ：51.1243°、線分FBの長さ：46.0228°

 

計算結果は以下に示すように、線分の比率が1.11〜1.17と、そこそこ１に近く、相対する辺同士は結構、平行っぽいということが分かります。

 

3. ポルックスの代わりにカストル

試みに、ポルックスの代わりにカストルを結ぶと、どんな感じになるか計算してみました。

カストルの赤径RA及び赤緯Decは、次の通りです（元期 J2000.0）。

カストル：(RA, Dec)=(7^h 34^m 35.87319^s, +31° 53′ 17.8160″)

第2章に示した一連の計算で、恒星D（ポルックス）をカストルに入れ替えて計算してみると、六角形の形は次のようになります。冬のダイヤモンドでは、各辺の長さの比が最大1.5倍の差があったことと比べると、ポルックスをカストルに入れ替えた六角形では、各辺の長さの差は1.3倍以下に収まっており、より均整のとれた六角形だといえます。

 

「冬のダイヤモンド」と「ポルックスをカストルに入れ替えた六角形」について、６辺の長さの平均値μ、標準偏差σ、変動係数CVを計算してみると、

冬のダイヤモンド：μ=27.27°、σ=5.11°、CV=18.7%

ポルックスをカストルに入れ替えた六角形：μ=27.20°、σ=3.90°、CV=14.3%

となり、６辺の長さの差異が是正されていることが、定量的に確認できます。

 

カストルに入れ替えた六角形について、相対する辺の平行度を計算し直すと、下図のように線分の比率が1.08〜1.12になり、これらの値は冬のダイヤモンド（1.11〜1.17）より１に近づいており、平行度合いが増していることが分かります。

 

4. まとめ

冬のダイヤモンドは、ちょっとカペラが遠くに離れている六角形です。ポルックスをカストルに入れ替えると、均整のとれた六角形に近づきます。夜空を見上げて、冬のダイヤモンドの六角形を紡いでいこうとするとき、ポルックスかカストルか道に迷いそうになる原因は、ここにあったのかも知れませんね。

 

５つの【基本計算式】をこちらで紹介しています

その他の『天球の歩き方』はこちらへどうぞ

Winter Hexagon, Winter Diamond