こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
予想最高気温の２０℃には届かないようですが、晴れてとても暖かい日になりました。夕方から冷え込んで、明日から寒い日が続くようです。とは言っても、今週末が立春で、今シーズンの寒さの底は抜けつつあります。
さて、今回は前回の平成２９年度灘中入試問題のつづきです。
問題は、
「［１］、［２］、［３］、［４］と書かれた４枚のカードが横一列に並んでいます。この列に、次のＡ、Ｂ、Ｃのうちのいずれか１つだけを行うことを１回の操作として、この操作を繰り返し行います。
Ａ：左端にあるカードを、左から２番目にあるカードと左から３番目にあるカードの間に移動させる。
Ｂ：左端にあるカードを、左から３番目にあるカードと左から４番目にあるカードの間に移動させる。
Ｃ：左端にあるカードを、右端に移動させる。
［１］［２］［３］［４］の順にカードを並べた状態から、この操作を始めます。
例えば、ＢＡＣの順に操作を行うとカードの並びは
［１］［２］［３］［４］→［２］［３］［１］［４］→［３］［２］［１］［４］→［２］［１］［４］［３］
と変化します。
（１）この操作を３回繰り返し行うことにします。
（ア）ＡＣＢの順に操作を行った後のカードの並びは［ ］［ ］［ ］［ ］です。
（イ）操作を３回行う方法は、各回ごとにＡ、Ｂ、Ｃのどれを選択するかで、全部で２７通りあります。このうち、３回の操作後に左端のカードが、
［４］であるような操作の方法は（ ）通り、
［３］であるような操作の方法は（ ）通り
［２］であるような操作の方法は（ ）通り
［１］であるような操作の方法は（ ）通りあります。
（ウ）２７通りの操作方法のうち、例えばＡＡＡのときも、ＢＡＢのときも、操作後のカードの並びは［２］［１］［３］［４］となります。このように２通り以上の操作方法で実現できるカードの並びで［２］［１］［３］［４］以外のものは、［ ］［ ］［ ］［ ］と［ ］［ ］［ ］［ ］です。
（２）この操作を３回繰り返し行うと左端のカードが［２］になり、さらに３回繰り返し行うとカードの並びが［１］［２］［３］［４］となるような計６回の操作方法は全部で何通りありますか。
（３）この操作を６回繰り返した後、カードの並びが［１］［２］［３］［４］となるような６回の操作方法は全部で何通りありますか。」
です。
前回の結果をまとめておくと、
（★１）２通りの操作方法（一連の３回の操作）で、同じカードの並びになるのは、
・［１］［２］［３］［４］－ＡＡＡ または ＢＡＢ→［２］［１］［３］［４］
・［１］［２］［３］［４］－ＡＡＢ または ＢＡＡ→［２］［３］［１］［４］
・［１］［２］［３］［４］－ＡＡＣ または ＣＡＡ→［２］［３］［４］［１］
で、これらのいずれの場合も、操作前の左から２番目のカードは、操作後に左端になります。
（★２）２通り以上の操作方法で実現できるカードの並びは３通りとあり、それらは、すべて左端のカードが［２］であるような操作方法で実現されるので、左端のカードが［１］、［３］または［４］である操作方法には重複がありません。
さらに、左端にあるカードを除いた３枚のカードの並べ方は３書ける２×１＝６通りなので、左端のカードが［１］、［３］または［４］である操作方法によって、すべてのカードの並び方を実現できます。
（★３）操作を３回繰り返して行うと左端が［２］になるのは、
ＡＡＡ⇒［２］［１］［３］［４］
ＡＡＢ⇒［２］［３］［１］［４］
ＡＡＣ⇒［２］［３］［４］［１］
ＢＡＡ⇒［２］［３］［１］［４］
ＢＡＢ⇒［２］［１］［３］［４］
ＢＡＣ⇒［２］［１］［４］［３］
ＣＡＡ⇒［２］［３］［４］［１］
ＣＡＢ⇒［２］［４］［３］［１］
ＣＡＣ⇒［２］［４］［１］［３］
の９通りです。
それでは（２）に取り掛かりましょう。
（★３）の９通りのカードの並びに操作を３回繰り返して、カードの並びを［１］［２］［３］［４］にするには、
【１】 ［２］［１］［３］［４］、 ［２］［１］［３］［４］、 ［２］［１］［４］［３］に、（１）の（イ）の「左端のカードが［２］であるような操作の方法」を施す、
【２】 ［２］［３］［１］［４］、 ［２］［３］［１］［４］、 ［２］［４］［１］［３］に、「左端のカードが［３］であるような操作の方法」を施す、
【３】 ［２］［３］［４］［１］、 ［２］［３］［４］［１］、 ［２］［４］［３］［１］に、「左端のカードが［４］であるような操作の方法」を施す必要があります。
【１】の［２］［１］［３］［４］にＡＡＡを施すと、［１］［２］［３］［４］になり、（★３）のなかのＢＡＢは、ＡＡＡと同じカードの並びを実現するので、［２］［１］［３］［４］にＢＡＢを施しても［１］［２］［３］［４］になります。
したがって、［１］［２］［３］［４］から、［２］［３］［１］［４］を経由して、［１］［２］［３］［４］にする計６回の操作方法は、４通りになります。
次に、【１】の［２］［１］［４］［３］にＢＡＣを施すと、［１］［２］［３］［４］になりますが、（★３）のなかにＢＡＣと同じカードの並びを実現するものはありません。
したがって、［１］［２］［３］［４］から、［２］［３］［４］［１］を経由して、［１］［２］［３］［４］にする計６回の操作方法は、１通りになります。
【２】と【３】のカードの並びについては、（★２）から、それらを［１］［２］［３］［４］にする操作方法は、それぞれについて１通りです。
したがって、［１］［２］［３］［４］から、【２】と【３】のカードの並びを経由して、［１］［２］［３］［４］にする計６回の操作方法は、６通りになります。
以上から、操作を３回繰り返して行うと左端のカードが［２］になり、さらに３回繰り返して行うとカードの並びが［１］［２］［３］［４］になるような計６回の操作方法は全部で４＋１＋６＝１１通りで、これが答えです。
続いて（３）です。
ここでは（２）と同じように、３回の操作を繰り返した後の左端のカードが［１］、［３］または［４］の場合で分けて調べるのがよいでしょう。
●３回の操作を繰り返した後の左端のカードが［１］の場合
続いて施す３回の操作は、（１）の（ウ）の「左端のカードが［１］であるような操作の方法」で、これによって実現するカードの並びに重複はありません。
したがって、［１］［２］［３］［４］から［１］［＊］［＊］［＊］を経由して、［１］［２］［３］［４］にする計６回の操作方法は６通りになります。
●３回の操作を繰り返した後の左端のカードが［３］の場合
この操作を施した後に実現する４枚のカードの並びは、
［３］［１］［２］［４］
［３］［１］［４］［２］
［３］［２］［１］［４］
［３］［２］［４］［１］
［３］［４］［１］［２］
［３］［４］［２］［１］
の６通りです。
［３］［１］［２］［４］にＢＡＡを施すと、［１］［２］［３］［４］になり、（★３）のなかのＡＡＢは、ＢＡＡと同じカードの並びを実現するので、［３］［１］［２］［４］にＢＡＡを施しても［１］［２］［３］［４］になります。
したがって、［１］［２］［３］［４］から、［３］［１］［２］［４］を経由して、［１］［２］［３］［４］にする計６回の操作方法は、２通りになります。
［３］［１］［４］［２］にＣＡＣを施すと、［１］［２］［３］［４］になりますが、（★３）のなかにＣＡＣと同じカードの並びを実現するものはありません。
したがって、［１］［２］［３］［４］から、［３］［１］［４］［２］を経由して、［１］［２］［３］［４］にする計６回の操作方法は、１通りになります。
その他の［３］［２］［１］［４］、［３］［２］［４］［１］、［３］［４］［１］［２］、［３］［４］［２］［１］については、続いて施す３回の操作が、（１）の（ウ）の「左端のカードが［３］または［４］であるような操作の方法」になり、これらによって実現するカードの並びに重複はありません。
したがって、［１］［２］［３］［４］から、［３］［＊］［１］［＊］または［３］［＊］［＊］［１］を経由して、［１］［２］［３］［４］にする計６回の操作方法は、合わせて４通りになります。
以上から、３回の操作を繰り返した後の左端のカードが［３］の場合の操作方法は、２＋１＋４＝７通りになります。
●３回の操作を繰り返した後の左端のカードが［４］の場合
この操作を施した後に実現する４枚のカードの並びは、
［４］［１］［２］［３］
［４］［１］［３］［２］
［４］［２］［１］［３］
［４］［２］［３］［１］
［４］［３］［１］［２］
［４］［３］［２］［１］
の６通りです。
［４］［１］［２］［３］にＣＡＡを施すと、［１］［２］［３］［４］になり、（★３）のなかのＡＡＣは、ＣＡＡと同じカードの並びを実現するので、［４］［１］［２］［３］にＡＡＣを施しても［１］［２］［３］［４］になります。
したがって、［１］［２］［３］［４］から、［４］［１］［２］［３］を経由して、［１］［２］［３］［４］にする計６回の操作方法は、２通りになります。
［４］［１］［３］［２］にＣＡＢを施すと、［１］［２］［３］［４］になりますが、（★３）のなかにＣＡＢと同じカードの並びを実現するものはありません。
したがって、［１］［２］［３］［４］から、［４］［１］［３］［２］を経由して、［１］［２］［３］［４］にする計６回の操作方法は、１通りになります。
その他の［４］［２］［１］［３］、［４］［２］［３］［１］、［４］［３］［１］［２］、［４］［３］［２］［１］については、続いて施す３回の操作が、（１）の（ウ）の「左端のカードが［３］または［４］であるような操作の方法」になり、これらによって実現するカードの並びに重複はありません。
したがって、［１］［２］［３］［４］から、［４］［＊］［１］［＊］または［４］［＊］［＊］［１］を経由して、［１］［２］［３］［４］にする計６回の操作方法は、合わせて４通りになります。
以上から、３回の操作を繰り返した後の左端のカードが［４］の場合の操作方法は、２＋１＋４＝７通りになります。
ここで、いままでの結果をまとめると、
［１］［２］［３］［４］から［１］［＊］［＊］［＊を経由して［１］［２］［３］［４］になる計６回の操作方法は、６通り、
［１］［２］［３］［４］から［２］［＊］［＊］［＊を経由して［１］［２］［３］［４］になる計６回の操作方法は、１１通り、
［１］［２］［３］［４］から［３］［＊］［＊］［＊を経由して［１］［２］［３］［４］になる計６回の操作方法は、７通り、
［１］［２］［３］［４］から［４］［＊］［＊］［＊を経由して［１］［２］［３］［４］になる計６回の操作方法は、７通りであることが判りました。
したがって、操作を６回繰り返した後、カードの並びが［１］［２］［３］［４］になるような６回の操作方法は全部で６＋１１＋７＋７＝３１通りで、これが答えです。
長くなってしまいましたが、調べている内容は簡単なので、解答時間はそれほどかからないでしょう。
予想最高気温の２０℃には届かないようですが、晴れてとても暖かい日になりました。夕方から冷え込んで、明日から寒い日が続くようです。とは言っても、今週末が立春で、今シーズンの寒さの底は抜けつつあります。
さて、今回は前回の平成２９年度灘中入試問題のつづきです。
問題は、
「［１］、［２］、［３］、［４］と書かれた４枚のカードが横一列に並んでいます。この列に、次のＡ、Ｂ、Ｃのうちのいずれか１つだけを行うことを１回の操作として、この操作を繰り返し行います。
Ａ：左端にあるカードを、左から２番目にあるカードと左から３番目にあるカードの間に移動させる。
Ｂ：左端にあるカードを、左から３番目にあるカードと左から４番目にあるカードの間に移動させる。
Ｃ：左端にあるカードを、右端に移動させる。
［１］［２］［３］［４］の順にカードを並べた状態から、この操作を始めます。
例えば、ＢＡＣの順に操作を行うとカードの並びは
［１］［２］［３］［４］→［２］［３］［１］［４］→［３］［２］［１］［４］→［２］［１］［４］［３］
と変化します。
（１）この操作を３回繰り返し行うことにします。
（ア）ＡＣＢの順に操作を行った後のカードの並びは［ ］［ ］［ ］［ ］です。
（イ）操作を３回行う方法は、各回ごとにＡ、Ｂ、Ｃのどれを選択するかで、全部で２７通りあります。このうち、３回の操作後に左端のカードが、
［４］であるような操作の方法は（ ）通り、
［３］であるような操作の方法は（ ）通り
［２］であるような操作の方法は（ ）通り
［１］であるような操作の方法は（ ）通りあります。
（ウ）２７通りの操作方法のうち、例えばＡＡＡのときも、ＢＡＢのときも、操作後のカードの並びは［２］［１］［３］［４］となります。このように２通り以上の操作方法で実現できるカードの並びで［２］［１］［３］［４］以外のものは、［ ］［ ］［ ］［ ］と［ ］［ ］［ ］［ ］です。
（２）この操作を３回繰り返し行うと左端のカードが［２］になり、さらに３回繰り返し行うとカードの並びが［１］［２］［３］［４］となるような計６回の操作方法は全部で何通りありますか。
（３）この操作を６回繰り返した後、カードの並びが［１］［２］［３］［４］となるような６回の操作方法は全部で何通りありますか。」
です。
前回の結果をまとめておくと、
（★１）２通りの操作方法（一連の３回の操作）で、同じカードの並びになるのは、
・［１］［２］［３］［４］－ＡＡＡ または ＢＡＢ→［２］［１］［３］［４］
・［１］［２］［３］［４］－ＡＡＢ または ＢＡＡ→［２］［３］［１］［４］
・［１］［２］［３］［４］－ＡＡＣ または ＣＡＡ→［２］［３］［４］［１］
で、これらのいずれの場合も、操作前の左から２番目のカードは、操作後に左端になります。
（★２）２通り以上の操作方法で実現できるカードの並びは３通りとあり、それらは、すべて左端のカードが［２］であるような操作方法で実現されるので、左端のカードが［１］、［３］または［４］である操作方法には重複がありません。
さらに、左端にあるカードを除いた３枚のカードの並べ方は３書ける２×１＝６通りなので、左端のカードが［１］、［３］または［４］である操作方法によって、すべてのカードの並び方を実現できます。
（★３）操作を３回繰り返して行うと左端が［２］になるのは、
ＡＡＡ⇒［２］［１］［３］［４］
ＡＡＢ⇒［２］［３］［１］［４］
ＡＡＣ⇒［２］［３］［４］［１］
ＢＡＡ⇒［２］［３］［１］［４］
ＢＡＢ⇒［２］［１］［３］［４］
ＢＡＣ⇒［２］［１］［４］［３］
ＣＡＡ⇒［２］［３］［４］［１］
ＣＡＢ⇒［２］［４］［３］［１］
ＣＡＣ⇒［２］［４］［１］［３］
の９通りです。
それでは（２）に取り掛かりましょう。
（★３）の９通りのカードの並びに操作を３回繰り返して、カードの並びを［１］［２］［３］［４］にするには、
【１】 ［２］［１］［３］［４］、 ［２］［１］［３］［４］、 ［２］［１］［４］［３］に、（１）の（イ）の「左端のカードが［２］であるような操作の方法」を施す、
【２】 ［２］［３］［１］［４］、 ［２］［３］［１］［４］、 ［２］［４］［１］［３］に、「左端のカードが［３］であるような操作の方法」を施す、
【３】 ［２］［３］［４］［１］、 ［２］［３］［４］［１］、 ［２］［４］［３］［１］に、「左端のカードが［４］であるような操作の方法」を施す必要があります。
【１】の［２］［１］［３］［４］にＡＡＡを施すと、［１］［２］［３］［４］になり、（★３）のなかのＢＡＢは、ＡＡＡと同じカードの並びを実現するので、［２］［１］［３］［４］にＢＡＢを施しても［１］［２］［３］［４］になります。
したがって、［１］［２］［３］［４］から、［２］［３］［１］［４］を経由して、［１］［２］［３］［４］にする計６回の操作方法は、４通りになります。
次に、【１】の［２］［１］［４］［３］にＢＡＣを施すと、［１］［２］［３］［４］になりますが、（★３）のなかにＢＡＣと同じカードの並びを実現するものはありません。
したがって、［１］［２］［３］［４］から、［２］［３］［４］［１］を経由して、［１］［２］［３］［４］にする計６回の操作方法は、１通りになります。
【２】と【３】のカードの並びについては、（★２）から、それらを［１］［２］［３］［４］にする操作方法は、それぞれについて１通りです。
したがって、［１］［２］［３］［４］から、【２】と【３】のカードの並びを経由して、［１］［２］［３］［４］にする計６回の操作方法は、６通りになります。
以上から、操作を３回繰り返して行うと左端のカードが［２］になり、さらに３回繰り返して行うとカードの並びが［１］［２］［３］［４］になるような計６回の操作方法は全部で４＋１＋６＝１１通りで、これが答えです。
続いて（３）です。
ここでは（２）と同じように、３回の操作を繰り返した後の左端のカードが［１］、［３］または［４］の場合で分けて調べるのがよいでしょう。
●３回の操作を繰り返した後の左端のカードが［１］の場合
続いて施す３回の操作は、（１）の（ウ）の「左端のカードが［１］であるような操作の方法」で、これによって実現するカードの並びに重複はありません。
したがって、［１］［２］［３］［４］から［１］［＊］［＊］［＊］を経由して、［１］［２］［３］［４］にする計６回の操作方法は６通りになります。
●３回の操作を繰り返した後の左端のカードが［３］の場合
この操作を施した後に実現する４枚のカードの並びは、
［３］［１］［２］［４］
［３］［１］［４］［２］
［３］［２］［１］［４］
［３］［２］［４］［１］
［３］［４］［１］［２］
［３］［４］［２］［１］
の６通りです。
［３］［１］［２］［４］にＢＡＡを施すと、［１］［２］［３］［４］になり、（★３）のなかのＡＡＢは、ＢＡＡと同じカードの並びを実現するので、［３］［１］［２］［４］にＢＡＡを施しても［１］［２］［３］［４］になります。
したがって、［１］［２］［３］［４］から、［３］［１］［２］［４］を経由して、［１］［２］［３］［４］にする計６回の操作方法は、２通りになります。
［３］［１］［４］［２］にＣＡＣを施すと、［１］［２］［３］［４］になりますが、（★３）のなかにＣＡＣと同じカードの並びを実現するものはありません。
したがって、［１］［２］［３］［４］から、［３］［１］［４］［２］を経由して、［１］［２］［３］［４］にする計６回の操作方法は、１通りになります。
その他の［３］［２］［１］［４］、［３］［２］［４］［１］、［３］［４］［１］［２］、［３］［４］［２］［１］については、続いて施す３回の操作が、（１）の（ウ）の「左端のカードが［３］または［４］であるような操作の方法」になり、これらによって実現するカードの並びに重複はありません。
したがって、［１］［２］［３］［４］から、［３］［＊］［１］［＊］または［３］［＊］［＊］［１］を経由して、［１］［２］［３］［４］にする計６回の操作方法は、合わせて４通りになります。
以上から、３回の操作を繰り返した後の左端のカードが［３］の場合の操作方法は、２＋１＋４＝７通りになります。
●３回の操作を繰り返した後の左端のカードが［４］の場合
この操作を施した後に実現する４枚のカードの並びは、
［４］［１］［２］［３］
［４］［１］［３］［２］
［４］［２］［１］［３］
［４］［２］［３］［１］
［４］［３］［１］［２］
［４］［３］［２］［１］
の６通りです。
［４］［１］［２］［３］にＣＡＡを施すと、［１］［２］［３］［４］になり、（★３）のなかのＡＡＣは、ＣＡＡと同じカードの並びを実現するので、［４］［１］［２］［３］にＡＡＣを施しても［１］［２］［３］［４］になります。
したがって、［１］［２］［３］［４］から、［４］［１］［２］［３］を経由して、［１］［２］［３］［４］にする計６回の操作方法は、２通りになります。
［４］［１］［３］［２］にＣＡＢを施すと、［１］［２］［３］［４］になりますが、（★３）のなかにＣＡＢと同じカードの並びを実現するものはありません。
したがって、［１］［２］［３］［４］から、［４］［１］［３］［２］を経由して、［１］［２］［３］［４］にする計６回の操作方法は、１通りになります。
その他の［４］［２］［１］［３］、［４］［２］［３］［１］、［４］［３］［１］［２］、［４］［３］［２］［１］については、続いて施す３回の操作が、（１）の（ウ）の「左端のカードが［３］または［４］であるような操作の方法」になり、これらによって実現するカードの並びに重複はありません。
したがって、［１］［２］［３］［４］から、［４］［＊］［１］［＊］または［４］［＊］［＊］［１］を経由して、［１］［２］［３］［４］にする計６回の操作方法は、合わせて４通りになります。
以上から、３回の操作を繰り返した後の左端のカードが［４］の場合の操作方法は、２＋１＋４＝７通りになります。
ここで、いままでの結果をまとめると、
［１］［２］［３］［４］から［１］［＊］［＊］［＊を経由して［１］［２］［３］［４］になる計６回の操作方法は、６通り、
［１］［２］［３］［４］から［２］［＊］［＊］［＊を経由して［１］［２］［３］［４］になる計６回の操作方法は、１１通り、
［１］［２］［３］［４］から［３］［＊］［＊］［＊を経由して［１］［２］［３］［４］になる計６回の操作方法は、７通り、
［１］［２］［３］［４］から［４］［＊］［＊］［＊を経由して［１］［２］［３］［４］になる計６回の操作方法は、７通りであることが判りました。
したがって、操作を６回繰り返した後、カードの並びが［１］［２］［３］［４］になるような６回の操作方法は全部で６＋１１＋７＋７＝３１通りで、これが答えです。
長くなってしまいましたが、調べている内容は簡単なので、解答時間はそれほどかからないでしょう。