中学入試問題Ｈ２９（２）【灘中】

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

冷たい風が吹いていて、それが明日の厳しい寒さを連想させます。明日の雪は、降ったとしても雪が舞い散る程度で大雪にはならないようです。助かります。

さて、今回は平成２９年度灘中入試問題を取り上げます。

問題は、
「下の図で、
　　　　　　（ＡＣの長さ）：（ＡＤの長さ）＝１：１
　　　　　　（ＡＢの長さ）：（ＢＥの長さ）＝１：２
　　　　　　（ＢＣの長さ）：（ＣＦの長さ）＝１：３
です。このとき、三角形ＡＤＧの面積は、三角形ＡＢＣの面積の（　　）倍です。」

▲問題図

です。

３組の線分の長さの比が与えられているので、これらを使っていくつかの三角形の面積比を求め、最後に△ＡＤＧと△ＡＢＣの面積比にたどり着くといった感じになりそうです。

まず図１のように、与えられた３組の線分の長さの比を書き入れましょう。

▲図１．３組の線分の長さの比を書き入れました

続いて、△ＡＢＣの面積をＳとして、いくつかの三角形の面積を求めましょう。

△ＸＹＺの面積をＳ（△ＸＹＺ）とすると、
ＡＢ：ＢＥ＝１：２　⇒　Ｓ（△ＡＢＣ）：Ｓ（△ＢＥＣ）＝１：２　⇒　Ｓ（△ＢＥＣ）＝２Ｓ
ＢＣ：ＣＦ＝１：３　⇒　Ｓ（△ＡＢＣ）：Ｓ（△ＣＦＡ）＝１：３　⇒　Ｓ（△ＣＦＡ）＝２Ｓ
ＡＣ：ＡＤ＝１：１　⇒　Ｓ（△ＡＣＥ）：Ｓ（△ＡＤＥ）＝１：１　⇒　Ｓ（△ＡＤＥ）＝３Ｓ
　　　　　　　　　　 ⇒　Ｓ（△ＡＣＦ）：Ｓ（△ＡＤＦ）＝１：１　⇒　Ｓ（△ＡＤＦ）＝３Ｓ　　（★）
で、これらを図２に書き入れました。

▲図２．いくつかの三角形の面積を求めました

ここで、線分ＦＢをＢ側に延長し、それと線分ＤＥとの交点をＨとすると、
ＡＢ：ＢＥ＝１：２　⇒　Ｓ（△ＡＢＨ）：Ｓ（△ＢＥＨ）＝１：２
で、Ｓ（△ＡＢＨ）＝Ｔとすると、Ｓ（△ＢＥＨ）＝２Ｔになります。

さらに、
ＡＣ：ＡＤ＝１：１　⇒　Ｓ（△ＡＣＨ）：Ｓ（△ＡＤＨ）＝１：１　⇒　Ｓ（△ＡＤＨ）＝Ｓ＋Ｔ
から、
Ｓ（△ＡＤＥ）＝Ｓ（△ＡＤＨ）＋Ｓ（△ＡＢＨ）＋Ｓ（△ＢＥＨ）
　　　　　　　＝Ｓ＋Ｔ＋Ｔ＋２Ｔ
　　　　　　　＝Ｓ＋４Ｔ
です。

一方、（★）から、Ｓ（△ＡＤＥ）＝３Ｓなので、
Ｓ＋４Ｔ＝３Ｓ
Ｔ＝Ｓ/２
になります。

ここまでの結果を図３に示します。

▲図３．三角形の面積をＳで表すことができました

あとは、１つの辺を共有する△ＡＤＨと△ＦＤＨに注目してＡＧとＦＧの比を求め、それを使ってＳ（△ＡＤＧ）を計算すればお仕舞いです。

Ｓ（△ＡＤＨ）＝３Ｓ/２
Ｓ（△ＦＤＨ）＝Ｓ（△ＦＡＣ）＋Ｓ（△ＡＢＣ）＋Ｓ（△ＡＢＨ）＋Ｓ（△ＡＤＨ）＋Ｓ（△ＦＡＤ）
　　　　　　　 ＝３Ｓ＋Ｓ＋Ｓ/２＋３Ｓ/２＋３Ｓ
　　　　　　　 ＝９Ｓ
なので、図４のように、
ＡＧ：ＦＧ＝３Ｓ/２：９Ｓ
　　　　　＝１：６
になります。

▲図４．ＡＧとＦＧの比が判りました

すると、
ＡＧ：ＡＦ＝１：５　⇒　Ｓ（△ＡＤＧ）：Ｓ（△ＡＤＦ）＝１：５
で、（★）からＳ（△ＡＤＦ）＝３Ｓなので、Ｓ（△ＡＤＧ）＝３Ｓ/５になり、
Ｓ（△ＡＤＧ）/Ｓ（△ＡＢＣ）＝３Ｓ/５÷Ｓ＝３/５
です。

したがって、三角形ＡＤＧの面積は、三角形ＡＢＣの面積の３/５倍で、これが答えです。


見通しのよい簡単な問題です。