こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
前線を伴った低気圧が本州を横切って東に進むので雲の多い空模様になりました。明日も曇りがちの天気ですが、予想最高気温は２０℃と暖かい日になるようで、楽しみなことです。
さて、今回は平成２９年度灘中入試問題を取り上げます。
問題は、
「［１］、［２］、［３］、［４］と書かれた４枚のカードが横一列に並んでいます。この列に、次のＡ、Ｂ、Ｃのうちのいずれか１つだけを行うことを１回の操作として、この操作を繰り返し行います。
Ａ：左端にあるカードを、左から２番目にあるカードと左から３番目にあるカードの間に移動させる。
Ｂ：左端にあるカードを、左から３番目にあるカードと左から４番目にあるカードの間に移動させる。
Ｃ：左端にあるカードを、右端に移動させる。
［１］［２］［３］［４］の順にカードを並べた状態から、この操作を始めます。
例えば、ＢＡＣの順に操作を行うとカードの並びは
［１］［２］［３］［４］→［２］［３］［１］［４］→［３］［２］［１］［４］→［２］［１］［４］［３］
と変化します。
（１）この操作を３回繰り返し行うことにします。
（ア）ＡＣＢの順に操作を行った後のカードの並びは［ ］［ ］［ ］［ ］です。
（イ）操作を３回行う方法は、各回ごとにＡ、Ｂ、Ｃのどれを選択するかで、全部で２７通りあります。このうち、３回の操作後に左端のカードが、
［４］であるような操作の方法は（ ）通り、
［３］であるような操作の方法は（ ）通り
［２］であるような操作の方法は（ ）通り
［１］であるような操作の方法は（ ）通りあります。
（ウ）２７通りの操作方法のうち、例えばＡＡＡのときも、ＢＡＢのときも、操作後のカードの並びは［２］［１］［３］［４］となります。このように２通り以上の操作方法で実現できるカードの並びで［２］［１］［３］［４］以外のものは、［ ］［ ］［ ］［ ］と［ ］［ ］［ ］［ ］です。
（２）この操作を３回繰り返し行うと左端のカードが［２］になり、さらに３回繰り返し行うとカードの並びが［１］［２］［３］［４］となるような計６回の操作方法は全部で何通りありますか。
（３）この操作を６回繰り返した後、カードの並びが［１］［２］［３］［４］となるような６回の操作方法は全部で何通りありますか。」
です。
長い問題文です。早速、取り掛かりましょう。
（１）の（ア）については、実際に操作して答えを求めましょう。
［１］［２］［３］［４］にＡを施すと、［２］［１］［３］［４］で、続いてＣを施すと、［１］［３］［４］［１］で、最後にＢを施すと、［３］［４］［１］［２］になります。
したがって、［３］［４］［１］［２］が答えです。
次に（１）の（イ）です。
３回の操作後に［＊］が左端になるためには、２回の操作後に［＊］が左から２番目にある必要があり、３回目の操作はＡ、Ｂ、Ｃのいずれでも構いません。これを基にそれぞれの場合を調べていきましょう。
まず、［４］が左端になる場合です。
初めの状態（［１］［２］［３］［４］）で、［４］は右端にあり、１回目の操作がＡまたはＢのとき、［４］の位置は変わらず、２回の操作後に左から２番目になることはありません。
つまり、１回目の操作はＣでなければならず、２回目の操作でＢまたはＣを施せば、２回の操作後［４］は左から２番目になります。
したがって、［４］が３回の捜査後に左端になるのは、ＣＢＡ、ＣＢＢ、ＣＢＣ、ＣＣＡ、ＣＣＢ、ＣＣＣの６通りで、これが答えです。
［３］が左端になる場合です。
１回目の操作がＢまたはＣのとき、［３］はその操作後に左から２番目になり、２回の操作後に左から２番目になることはありません。
つまり、１回目の操作はＡでなければならず、２回目の操作でＢまたはＣを施せば、２回の操作後［３］は左から２番目になります。
したがって、［３］が３回の操作後に左端になるのは、ＡＢＡ、ＡＢＢ、ＡＢＣ、ＡＣＡ、ＡＣＢ、ＡＣＣの６通りで、これが答えです。
［２］が左端になる場合です。
１回目の操作がＡ、Ｂ、Ｃのいずれの操作でも、その操作後［２］は左端になります。その状態から２回目の操作後に左から２番目になるためには、２回目の操作がＡでなければなりません。
したがって、［２］が３回の操作後に左端になるのは、ＡＡＡ、ＡＡＢ、ＡＡＣ、ＢＡＡ、ＢＡＢ、ＢＡＣ、ＣＡＡ、ＣＡＢ、ＣＡＣの９通りで、これが答えです。
［１］が左端になる場合です。
１回目の操作がＡのとき、［１］は左から２番目になり、２回目の操作後に左から２番目になることはありません。また、１回目の操作がＣのとき、［１］は右端になり、２回目の操作後に左から２番目になることはありません。
つまり、１回目の操作はＢでなければならず、２回目の操作でＢまたはＣを施せば、２回目の操作後［１］は左から２番目になります。
したがって、［１］が３回の操作後に左端になるのは、ＢＢＡ、ＢＢＢ、ＢＢＣ、ＢＣＡ、ＢＣＢ、ＢＣＣの６通りで、これが答えです。
続いて（１）の（ウ）です。
（１）の（イ）の結果から［２］が左端になる３回の操作は９通りであることが判りました。
ところが、［２］以外の［１］、［３］、［４］の３枚のカードの並べ方は、３×２×１＝６通りですから、［２］が左端になる３回の操作後の４枚のカードの並び方のうち、３通りが重複していることが判ります。
つまり、２通り以上の操作方法で実現できるカードの並びでは、左端のカードは［２］になります。
そこで、（１）の（イ）で求めた左端が［２］になる９通りの操作を、［１］［２］［３］［４］に施してみると、
ＡＡＡ⇒［２］［１］［３］［４］
ＡＡＢ⇒［２］［３］［１］［４］
ＡＡＣ⇒［２］［３］［４］［１］
ＢＡＡ⇒［２］［３］［１］［４］
ＢＡＢ⇒［２］［１］［３］［４］
ＢＡＣ⇒［２］［１］［４］［３］
ＣＡＡ⇒［２］［３］［４］［１］
ＣＡＢ⇒［２］［４］［３］［１］
ＣＡＣ⇒［２］［４］［１］［３］
になり、［２］［１］［３］［４］、［２］［３］［１］［４］、［２］［３］［４］［１］が重複していることが判ります。
したがって、２通り以上の操作方法で実現できるカードの並びで［２］［１］［３］［４］以外のものは、［２］［３］［１］［４］と［２］［３］［４］［１］で、これが答えです。
長くなったので、（２）と（３）は次回に調べていきます。
前線を伴った低気圧が本州を横切って東に進むので雲の多い空模様になりました。明日も曇りがちの天気ですが、予想最高気温は２０℃と暖かい日になるようで、楽しみなことです。
さて、今回は平成２９年度灘中入試問題を取り上げます。
問題は、
「［１］、［２］、［３］、［４］と書かれた４枚のカードが横一列に並んでいます。この列に、次のＡ、Ｂ、Ｃのうちのいずれか１つだけを行うことを１回の操作として、この操作を繰り返し行います。
Ａ：左端にあるカードを、左から２番目にあるカードと左から３番目にあるカードの間に移動させる。
Ｂ：左端にあるカードを、左から３番目にあるカードと左から４番目にあるカードの間に移動させる。
Ｃ：左端にあるカードを、右端に移動させる。
［１］［２］［３］［４］の順にカードを並べた状態から、この操作を始めます。
例えば、ＢＡＣの順に操作を行うとカードの並びは
［１］［２］［３］［４］→［２］［３］［１］［４］→［３］［２］［１］［４］→［２］［１］［４］［３］
と変化します。
（１）この操作を３回繰り返し行うことにします。
（ア）ＡＣＢの順に操作を行った後のカードの並びは［ ］［ ］［ ］［ ］です。
（イ）操作を３回行う方法は、各回ごとにＡ、Ｂ、Ｃのどれを選択するかで、全部で２７通りあります。このうち、３回の操作後に左端のカードが、
［４］であるような操作の方法は（ ）通り、
［３］であるような操作の方法は（ ）通り
［２］であるような操作の方法は（ ）通り
［１］であるような操作の方法は（ ）通りあります。
（ウ）２７通りの操作方法のうち、例えばＡＡＡのときも、ＢＡＢのときも、操作後のカードの並びは［２］［１］［３］［４］となります。このように２通り以上の操作方法で実現できるカードの並びで［２］［１］［３］［４］以外のものは、［ ］［ ］［ ］［ ］と［ ］［ ］［ ］［ ］です。
（２）この操作を３回繰り返し行うと左端のカードが［２］になり、さらに３回繰り返し行うとカードの並びが［１］［２］［３］［４］となるような計６回の操作方法は全部で何通りありますか。
（３）この操作を６回繰り返した後、カードの並びが［１］［２］［３］［４］となるような６回の操作方法は全部で何通りありますか。」
です。
長い問題文です。早速、取り掛かりましょう。
（１）の（ア）については、実際に操作して答えを求めましょう。
［１］［２］［３］［４］にＡを施すと、［２］［１］［３］［４］で、続いてＣを施すと、［１］［３］［４］［１］で、最後にＢを施すと、［３］［４］［１］［２］になります。
したがって、［３］［４］［１］［２］が答えです。
次に（１）の（イ）です。
３回の操作後に［＊］が左端になるためには、２回の操作後に［＊］が左から２番目にある必要があり、３回目の操作はＡ、Ｂ、Ｃのいずれでも構いません。これを基にそれぞれの場合を調べていきましょう。
まず、［４］が左端になる場合です。
初めの状態（［１］［２］［３］［４］）で、［４］は右端にあり、１回目の操作がＡまたはＢのとき、［４］の位置は変わらず、２回の操作後に左から２番目になることはありません。
つまり、１回目の操作はＣでなければならず、２回目の操作でＢまたはＣを施せば、２回の操作後［４］は左から２番目になります。
したがって、［４］が３回の捜査後に左端になるのは、ＣＢＡ、ＣＢＢ、ＣＢＣ、ＣＣＡ、ＣＣＢ、ＣＣＣの６通りで、これが答えです。
［３］が左端になる場合です。
１回目の操作がＢまたはＣのとき、［３］はその操作後に左から２番目になり、２回の操作後に左から２番目になることはありません。
つまり、１回目の操作はＡでなければならず、２回目の操作でＢまたはＣを施せば、２回の操作後［３］は左から２番目になります。
したがって、［３］が３回の操作後に左端になるのは、ＡＢＡ、ＡＢＢ、ＡＢＣ、ＡＣＡ、ＡＣＢ、ＡＣＣの６通りで、これが答えです。
［２］が左端になる場合です。
１回目の操作がＡ、Ｂ、Ｃのいずれの操作でも、その操作後［２］は左端になります。その状態から２回目の操作後に左から２番目になるためには、２回目の操作がＡでなければなりません。
したがって、［２］が３回の操作後に左端になるのは、ＡＡＡ、ＡＡＢ、ＡＡＣ、ＢＡＡ、ＢＡＢ、ＢＡＣ、ＣＡＡ、ＣＡＢ、ＣＡＣの９通りで、これが答えです。
［１］が左端になる場合です。
１回目の操作がＡのとき、［１］は左から２番目になり、２回目の操作後に左から２番目になることはありません。また、１回目の操作がＣのとき、［１］は右端になり、２回目の操作後に左から２番目になることはありません。
つまり、１回目の操作はＢでなければならず、２回目の操作でＢまたはＣを施せば、２回目の操作後［１］は左から２番目になります。
したがって、［１］が３回の操作後に左端になるのは、ＢＢＡ、ＢＢＢ、ＢＢＣ、ＢＣＡ、ＢＣＢ、ＢＣＣの６通りで、これが答えです。
続いて（１）の（ウ）です。
（１）の（イ）の結果から［２］が左端になる３回の操作は９通りであることが判りました。
ところが、［２］以外の［１］、［３］、［４］の３枚のカードの並べ方は、３×２×１＝６通りですから、［２］が左端になる３回の操作後の４枚のカードの並び方のうち、３通りが重複していることが判ります。
つまり、２通り以上の操作方法で実現できるカードの並びでは、左端のカードは［２］になります。
そこで、（１）の（イ）で求めた左端が［２］になる９通りの操作を、［１］［２］［３］［４］に施してみると、
ＡＡＡ⇒［２］［１］［３］［４］
ＡＡＢ⇒［２］［３］［１］［４］
ＡＡＣ⇒［２］［３］［４］［１］
ＢＡＡ⇒［２］［３］［１］［４］
ＢＡＢ⇒［２］［１］［３］［４］
ＢＡＣ⇒［２］［１］［４］［３］
ＣＡＡ⇒［２］［３］［４］［１］
ＣＡＢ⇒［２］［４］［３］［１］
ＣＡＣ⇒［２］［４］［１］［３］
になり、［２］［１］［３］［４］、［２］［３］［１］［４］、［２］［３］［４］［１］が重複していることが判ります。
したがって、２通り以上の操作方法で実現できるカードの並びで［２］［１］［３］［４］以外のものは、［２］［３］［１］［４］と［２］［３］［４］［１］で、これが答えです。
長くなったので、（２）と（３）は次回に調べていきます。