値が同じ2つの定積分(置換積分） ～２０２４年度前期日程の香川大学医学部入試問題より

２０２４年度８月１９日（月）

 

　高校数学（数学Ⅲ）の積分計算の重要な方法は、置換積分と部分積分である。置換積分は、

　　　∫f(x)dx   で　x=g(t) 　とおく。

すると、

　　　dx=g'(t)dt

となるから、

　　　∫f(g(t)) g'(t)dt

と計算する方法である。本ブログの計算は、この置換積分で計算する方法である。ただし、上の場合は不定積

分の場合であるが、定積分の場合は積分範囲も変換する必要がある。

　部分積分は、

　　　∫f’(x)g(x)dx  =f(x)g(x)－∫f(x)g'(x)dx

を計算する方法である。これは、２つの関数の積の微分公式から導くことができる。すなわち、

　　{f(x)g(x)}'＝f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)

       ∫ {f(x)g(x)}' dx= ∫ f'(x)g(x)dx+∫ f(x)g'(x)

　　∴　∫ f'(x)g(x)dx＝f(x)g(x)－∫ f(x)g'(x)

となるわけである。

　数学Ⅲの積分計算は、この２つの方法――置換積分と部分積分とが使えるようにしておくことが大切である。

 

   

 

 

 

ちょっと休息

（１）８月１７日（土）のFacebook投稿より

放送大学の単位認定試験

　放送大学の単位認定試験について、ひと言触れておきます。

　放送大学の単位認定試験は、一部の記述式の科目を除いてWEB試験で実施されています。そして、その問題と

 

正解は成績発表と同じ日にWEB上で公開されます。

 

　今回は時間的余裕がなくて、自分の解答を記録しておくことはしませんでした。しかし、１学期は自分の解答

 

を記録して公表された正解と付き合わせてみました。すると、あっている答えが合格点に達していませんでした。

 

しかし、成績の方は非常によい結果となっています。どうしてだろうかと、ずっとと思っていました。コンピュー

 

タによる採点であるから、普通間違うはずがない・・・疑問でした。

 

　その疑問が、今回放送大学学生のFacebookでの交流の場である「放送大学バーチャルキャンパス」の書き込み

 

で、ようやく理解できました。それによると、単位認定試験の不正を防ぐために、科目によってはある問題の選択

 

肢の順番を受験者個人でランダムに変えて出題しているとのことです。したがって、自分の解答を写しておいて、

 

公表された解答と付き合わせても、そもそも選択肢の順番が違うので意味がないとのことです。自分の出した解答

 

が公表されている解答と違っていて合格点に達していない場合でも、いい成績がつくことがあるのは当然と言えば

 

当然なのです。

 

　公正なWEB試験を目指して、放送大学もいろいろ考えているのでしょう。受験者の少ない大学院の単位認定試験に

 

ついては、来学期からWEBカメラによる本人確認と不正監視がなされるとのことです。学部の単位認定試験も、何れ

 

そうなることでしょう。