レストランの紙のコースター（ coaster ）に書かれていた文章から。
You know you've found that special someone when they say those three little words: drinks on me.
あなたは、 「 ドリンクス・オン・ミー 」 という、わずか三つ言葉を聞いただけで、あなたが特別な誰かを見つけたということがわかるでしょう。
" on me " で、 「 私のおごり 」 の意味になるそうです。 「 支える 」というイメージの前置詞 " on " ですね。
「 この ～ は、私のおごりです」 という場合、 This ～ is on me. という表現もあるようですが、 This ～ is my treat. のほうをよく聞きます。