算額（その997）

算額（その997）

一〇四 桶川町加納 氷川天満神社 明治43年(1910)

埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.

正三角形内に正方形と円を入れる。正三角形の一辺の長さが 35 寸のとき，正方形の一辺の長さと円の直径はいかほどか。

正三角形の一辺の長さを 2a
正方形の一辺の長さを 2b
円の半径と中心座標を r, (0, 2b + r)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy

@syms r::poitive, a::poitive, b::poitive
eq1 = r/(√Sym(3)*a - (2b + r)) - 1//2
eq2 = (a - b)/2b - 1/√Sym(3)
res = solve([eq1, eq2], (b, r))
res |> println

   Dict{Sym{PyCall.PyObject}, Sym{PyCall.PyObject}}(r => a*(2 - sqrt(3)), b => a*(-3 + 2*sqrt(3)))

res[b] |> println
res[r] |> println

   a*(-3 + 2*sqrt(3))
   a*(2 - sqrt(3))

正方形の一辺の長さは，正三角形の一辺の長さの 2√3 - 3 倍，
円の直径は，正三角形の一辺の長さの 2 - √3 倍である。

正三角形の一辺の長さが 35 寸のとき，正方形の一辺の長さは 16.243556529821404 寸，円の直径は 9.378221735089298 寸である。

算額の答えは間違っているようだ。「問」に「圓方共ニ弐個入客（容）スル」と書いているのが原因か?

35*(2√3 - 3), 35*(2 - √3)

   (16.243556529821404, 9.378221735089298)

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   a = 35/2
   (b, r) = a.*(-3 + 2*sqrt(3), 2 - sqrt(3))
   @printf("正三角形の一辺の長さが %g のとき，正方形の一辺の長さは %g，円の直径は %g である。\n", 2a, 2b, 2r)
   plot([a, 0, -a, a], [0, √3a, 0, 0], color=:blue, lw=0.5)
   plot!([b, b, -b, -b, b], [0, 2b, 2b, 0, 0], color=:green, lw=0.5)
   circle(0, 2b + r, r)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(a, 0, "a", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, √3a, " √3a", :blue, :left, :vcenter)
       point(0, 2b + r, " 円:r,(0,2b+r)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(b, 2b, " (b,2b)", :green, :left, :vcenter)
   end
end;

算額（その996）

算額（その996）

一〇四 桶川町加納 氷川天満神社 明治43年(1910)

埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.

大きい正方形の中に，小さい正方形を入れる。それぞれの一辺の長さが 25 寸，20 寸のとき，できる4個の直角三角形の鈎，股はいかほどか。

それぞれの正方形の一辺の長さを a, b，小正方形の頂点が大正方形の一辺を x, a - x に区分するとして，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy

@syms a::poitive, b::poitive, x::poitive
eq1 = (a - x)^2 + x^2 - b^2
res = solve(eq1, x)[2]
res |> println

   a/2 + sqrt(-a^2 + 2*b^2)/2

正方形の一辺の長さが 25 寸，20 寸のとき股 = x = a/2 + sqrt(-a^2 + 2*b^2)/2 = 19.114378277661476 寸，
鈎 = a - x = 5.885621722338524 寸である。

(a, b) = (25, 20)
x = a/2 + sqrt(-a^2 + 2*b^2)/2
(x, a - x) |> println

   (19.114378277661476, 5.885621722338524)

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (a, b) = (25, 20)
   鈎 = a/2 - sqrt(-a^2 + 2*b^2)/2
   股 = a - 鈎
   @printf("鈎 = %g;  股 = %g\n", 鈎, 股)
   plot([0, a, a, 0, 0], [0, 0, a, a, 0], color=:blue, lw=0.5)
   plot!([0, 股, a, 鈎, 0], [鈎, 0, 股, a, 鈎], color=:red, lw=0.5)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(0, 鈎, " 鈎 = a - x", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(股, 0, " 股 = x", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(a, 0, " a", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
   end
end;

算額（その995）

算額（その995）

一〇四 桶川町加納 氷川天満神社 明治43年(1910)

埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.

直角三角形の田に 2 個の円を入れる。鈎，股がそれぞれ 12 間，30 間のとき，それぞれの円の直径を求めよ。

図形的には算額（その23）と同じである（求めるものが違う）。

鈎，股をそれぞれ変数名として使う
大円の半径と中心座標を r1, (r1, r1)
小円の半径と中心座標を r2, (x2, r2)
とおき，以下の連立方程式を解く。

大円の半径については，有名な公式があるので，方程式を立てるまでもない。

include("julia-source.txt");

using SymPy

@syms 鈎::::poitive, 股::poitive, r1::poitive, x2::positive, r2::positive
#r1 = 股/2 + 鈎/2 - 弦/2
eq1 = 鈎 + 股 - sqrt(鈎^2 + 股^2) - 2r1
res1 = solve(eq1, r1)[1] |> simplify
res1 |> println

   股/2 + 鈎/2 - sqrt(股^2 + 鈎^2)/2

x2, r2 については，r1 を展開したまま使うと長い式になるので，変数のまま解く。

eq2 = (x2 - r1)^2 + (r1 - r2)^2 - (r1 + r2)^2
eq3 = r2/(股 - x2) - r1/(股 - r1);

res2 = solve([eq2, eq3], (r2, x2))[1]
res2[1] |> println
res2[2] |> println

   -r1*(-r1*(3*r1 - 股) + 2*r1*sqrt(2*r1^2 - 2*r1*股 + 股^2) + 股*(r1 - 股))/(r1 - 股)^2
   r1*(3*r1 - 股 - 2*sqrt(2*r1^2 - 2*r1*股 + 股^2))/(r1 - 股)

鈎，股が 12 間，30 間のとき，大円，小円の直径は 9.68901115719298 間，6.607263123844749 間である。

(鈎, 股) = (12, 30)
弦 = sqrt(鈎^2 + 股^2)
r1 = 股/2 + 鈎/2 - 弦/2
t = 2*r1^2 - 2*r1*股 + 股^2
u = 3r1 - 股
v = r1 - 股
w = u - 2sqrt(t)
r2 = r1*(r1*w - 股*v)/v^2
x2 = r1*w/v
(2r1, 2r2, x2)  # (9.68901115719298, 6.607263123844749, 12.845620883692494)

   (9.68901115719298, 6.6072631238447475, 12.845620883692494)

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (鈎, 股) = (12, 30)
   弦 = sqrt(鈎^2 + 股^2)
   r1 = 股/2 + 鈎/2 - 弦/2
   t = 2*r1^2 - 2*r1*股 + 股^2
   u = 3r1 - 股
   v = r1 - 股
   w = u - 2sqrt(t)
   r2 = r1*(r1*w - 股*v)/v^2
   x2 = r1*w/v
   @printf("大円直径 = %g;  小円直径 = %g\n", 2r1, 2r2)
   plot([0, 股, 0, 0], [ 0, 0, 鈎, 0], color=:green, lw=0.5)
   circle(r1, r1, r1, :blue)
   circle(x2, r2, r2)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(r1, r1, "大円:r1\n(r1,r1)", :blue, :center, delta=-2delta)
       point(x2, r2, "小円:r2\n(x2,r2)", :red, :center, delta=-2delta)
       point(股, 0, "股", :green, :left, :bottom, delta=2delta)
       point(0, 鈎, "鈎", :green, :left, :bottom, delta=2delta)
   end
end;