算額（その903）

算額（その903）

七八 加須市大字外野 棘脱地蔵堂 明治9年(1876)
埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.

直線上に大円と小円が並んでいる。小円は隣同士外接し，左右の小円は大円にも外接している。大円の直径が 36 寸のとき，小円の直径を求めよ。

大円，小円の半径をそれぞれ r1, r2 とおき，左右の小円が大円に外接しているという条件に関する以下の方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms r1::positive, r2::positive
eq1 = (4r2)^2 + (r1 - r2)^2 - (r1 + r2)^2
res = solve(eq1, r2)[1]
res |> println

   r1/4

小円の半径は，大円の半径の 1/4 である。
大円の直径が 36 寸ならば，小円の直径は 9 寸である。

術は「大円四因之小円径得」と書いている。そもそも「因」は「掛ける」であるがここでは「割る」を表す「帰」でなければならない。それをさておいて「小円径は大円径を 4 で割る」といっているのに答で「小円径一寸四分有奇」つまり「1.4 寸余り」としているのは，とんでもない誤記である。

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r1 = 36/2
   r2 = r1/4
   plot()
   circle(0, r1, r1)
   circle(0, r2, r2, :blue)
   circle2(2r2, r2, r2, :blue)
   circle2(04r2, r2, r2, :blue)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:black, lw=1)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(0, r1, "大円:r1,(0,r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(4r2, r2, "小円:r2\n(4r2,r2)", :blue, :center, delta=-delta/2)
   end
end;

算額（その902）

算額（その902）

七六 加須市騎西町中種足 雷神社 明治8年(1875)

埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.

外円内に，長径が 3 寸，短径が 2 寸の楕円が 3 個入っている。外円の直径はいかほどか。

外円の半径を R
楕円の長半径，短半径を a, b
上の楕円と右下の楕円の接点を (x, y)
とおいて，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms a::positive, b::positive, x::positive, y::positive,
     R::positive
@syms a, b, x, y, R
eq1 = x^2/a^2 + (y - R + b)^2/b^2 - 1
eq2 = -b^2*x/(a^2*(y - R +b)) - 1/√Sym(3)
eq3 = y/x - 1/√Sym(3)
res = solve([eq1, eq2, eq3], (R, x, y))[2]  # 2 of 2

   (sqrt(3)*a^2*sqrt(1/(a^2 + 3*b^2))/3 + sqrt(3)*b^2*sqrt(1/(a^2 + 3*b^2)) + b, a^2*sqrt(1/(a^2 + 3*b^2)), sqrt(3)*a^2*sqrt(1/(a^2 + 3*b^2))/3)

外円の直径は sqrt(3)*a^2*sqrt(1/(a^2 + 3*b^2))/3 + sqrt(3)*b^2*sqrt(1/(a^2 + 3*b^2)) + b である。
長径が 3 寸，短径が 2 寸 のとき，6.21455025366432 寸である。

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (a, b) = (2, 3) .// 2
   t = sqrt(1/(a^2 + 3*b^2))
   R = √3t*(a^2/3 + b^2) + b
   x = a^2*t
   y = x/√3
   @printf("外円の直径 = %.15g\n", 2R)
   @printf("a = %g;  b = %g;  R = %g;  x = %g;  y = %g\n", a, b, R, x, y)
   r = R - b
   plot()
   circle(0, 0, R)
   ellipse(0, r, a, b, color=:blue)
   ellipse(r*cosd(210), r*sind(210), a, b, φ = 120, color=:blue)
   ellipse(r*cosd(330), r*sind(330), a, b, φ = 240, color=:blue)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(0, R, "R", :red, :center, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, R - b, " R-b", :blue, :left, :vcenter)
       point(a, R - b, " (a,R-b)", :blue, :left, :vcenter)
       point(x, y, "(x, y)", :blue, :left, delta=-delta/2)
   end
end;

算額（その901）

算額（その901）

七二 加須市大字外野 棘脱地蔵堂 明治7年(1874)

埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.

直線上に正三角形 1 個，大円3個，小円 1 個がある。小円の直径が 1 寸のとき，正三角形の一辺の長さはいかほどか。

少なくとも『埼玉の算額』には，大円は 2 個しか描かれていないが，第 3 の大円は正三角形に内接するものである。

正三角形の高さは，内接する円の半径の 3 倍，一辺の長さは 2√3 倍であることなどを知っていれば，問題は直線の上にある大円の半径を求めることに帰着する。

正三角形の一辺の長さを 2a
大円の半径と中心座標を r1, (x1, r1), (0, 2r2 + 2r1)
小円の半径と中心座標を r2, (0, r2)
とおき以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms r1::positive, x1::positive, r2::positive
eq1 = x1^2 + (r1 - r2)^2 - (r1 + r2)^2
eq2 = dist2(0, 2r2, √Sym(3)*r1, 2r2 + 3r1, x1, r1, r1)
(r1, x1) = solve([eq1, eq2], (r1, x1))[1]
r1 = r1 |> expand |> simplify
x1 = x1 |> expand |> simplify
r1 |> println
x1 |> println

   2*r2*(sqrt(3) + 2)/3
   2*r2*(sqrt(3) + 3)/3

大円の半径は 2r2*(√3 + 2)/3，正三角形の一辺の長さは 2r2*(√3 + 2)/3 × 2√3 である。
小円の直径が 1 のとき，正三角形の一辺の長さは 4.3094010767585 である。

2(1/2)*(√3 + 2)/3 * 2√3

   4.309401076758503

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r2 = 1//2
   (r1, x1) = (2r2*(√3 + 2)/3, 2r2*(√3 + 3)/3)
   a = r1*√3
   @printf("小円の直径が %g のとき，正三角形の一辺の長さは %.15g である。\n", 2r2, 2a)
   @printf("r2 = %g; r1 = %g;  x1 = %g;  a = %g\n", r2, r1, x1, a)
   plot([-a, 0, a, -a], [2r2 + 3r1, 2r2, 2r2 + 3r1, 2r2 + 3r1], color=:blue, lw=0.5)
   circle2(x1, r1, r1, :green)
   circle(0, 2r2 + 2r1, r1, :green)
   circle(0, r2, r2)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(x1, r1, "大円:r1,(x1,r1)", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(0, 2r2 + 2r1, "大円:r1,(0,2r2+2r1)", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(0, r2, "小円:r2\n(0,r2)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(√3r1, 2r2 + 3r1, "(√3r1,2r2+3r1)", :blue, :right, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, 2r2, "(0,2r2)", :red, :center, delta=-1.5delta)
   end
end;