算額（その1174）

算額（その1174）

一七 大里郡岡部村岡 稲荷社 文化13年(1816)
埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.
キーワード：円1個，二等辺三角形，正方形

二等辺三角形の中に正方形と円を容れる。正方形の一辺の長さが 3 寸，円の直径が 2 寸のとき，二等辺三角形の等辺の長さはいかほどか。

図形を時計回りに倒し，二等辺三角形の右側の等辺を水平にして考える。
二等辺三角形の頂角をθ，その半分を θ/2
正方形の一辺の長さを s
円の半径を r
とおいて，以下の連立方程式を解く。

メモ：方程式で tan() を使って書くと計算時間がかかり，有限の時間内に答えが求まらない。

include("julia-source.txt");

using SymPy

@syms s::positive, r::positive,
     a::positive, b::positive,
     θ::positive;

eq1 = s*tand(θ/2) + s + s/tand(θ) - a
eq2 = s + (a - s - s*tand(θ/2)) - sqrt(s^2 + (a - s - s*tand(θ/2))^2) - 2r
res = solve([eq1, eq2], (a, θ))[1]

   ((2*r*(r - s) + s*(2*r - s)*(tan(atan(s*(1 - s/(2*r))/(r - s))/2) + 1))/(2*r - s), 180*atan(s*(2*r - s)/(2*r*(r - s)))/pi)

a を求める計算式は複雑であるが，実際の計算には支障がない。

正方形の一辺の長さが 3 寸，円の直径が 2 寸のとき，二等辺三角形の等辺の長さは 8 寸である。

res[1](s => 3, r => 1).evalf() |> println

   8.00000000000000

function draw(s, r, more)
    pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (a, θ) = ((2*r*(r - s) + s*(2*r - s)*(tan(atan(s*(1 - s/(2*r))/(r - s))/2) + 1))/(2*r - s), 180*atan(s*(2*r - s)/(2*r*(r - s)))/pi)
   @printf("a = %g;  θ = %g\n", a, θ)
   b = s*tand(θ/2)
   (x, y) = float.(intersection(0, 0, b, s, a, 0, b + s, s))
   @printf("b = %g;  s = %g;  x = %g;  y = %g\n", b, s, x, y)
   plot()
   rect(b, 0, b + s, s, :blue)
   circle(b + s + r, r, r, :red)
   plot!([0, a, x, 0], [0, 0, y, 0], color=:green, lw=0.5)
   segment(x/2, y/2, a, 0, :gray)
   circle(a, 0, 0.1a, beginangle=180 - θ, endangle=180, lw=2)
   circle(a, 0, 0.12a, :magenta, beginangle=180 - θ/2, endangle=180, lw=2)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       #point(x, y, " (x,y)", :green, :left, :vcenter)
       point(a, 0, "a", :green, :center, delta=-delta)
       point(b, 0, "b", :blue, :center, delta=-delta)
       point(b + s, 0, "b+s", :blue, :center, delta=-delta)
       point(b + s + r, 0, "b+s+r", :blue, :center, delta=-delta)
       point(b + s + r, r, "", :blue, :center, delta=-delta)
       point(0.88a, delta/2, "θ/a ", :magenta, :right, :bottom, delta=delta, mark=false)
       point(0.96a, -0.05a*tan(θ), "θ ", :red, :right, :bottom, delta=2delta, mark=false)
       ylims!(-8delta, y + 3delta)
   end
end;