算額（その994）

算額（その994）

一〇一 大宮市高鼻町 氷川神社 明治31年(1898)

埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.

正方形の中に楕円 2 個と，楕円の中に等円をそれぞれ 3 個入れる。等円の直径が 1 寸のとき，正方形の一辺の長さはいかほどか。

正方形の一辺の長さを 2a
等円の半径と中心座標を r, (x, b), (0, 2b - r); b = a/2
とおき，以下の連立方程式を解く。

eq2 は「算法助術」の公式84による。

include("julia-source.txt");

using SymPy

@syms a::poitive, b::positive, r::positive, x::positive
b = a/2
eq1 = x^2 + (2b - r - b)^2 - 4r^2
eq2 = (a^2 - b^2)*(b^2 - r^2)/b^2 - x^2
res = solve([eq1, eq2], (a, x))[1]

   (3*r, sqrt(15)*r/2)

楕円の長半径 a は等円の半径 r の 3 倍である。
等円の直径が 1 寸のとき，楕円の長径は 3 寸である。

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r = 1/2
   (a, x) = (3*r, sqrt(15)*r/2)
   b = a/2
   @printf("等円の直径が %g のとき，正方形の一辺の長さは %g である。\n", 2r, 2a)
   plot([a, a, -a, -a, a], [-a, a, a, -a,  -a], color=:green, lw=0.5)
   ellipse(0, b, a, b, color=:blue)
   ellipse(0, -b, a, b, color=:blue)
   circle22(0, 2b - r, r)
   circle4(x, b, r)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(a, 0, " a", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, 2b, " 2b", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(x, b, "等円:r,(x,b)", :red, :center, :bottom, delta=delta)
       point(0, 2b - r, "等円:r,(0,2b-r)", :red, :center, :bottom, delta=delta)
   end
end;

算額（その993）

算額（その993）

一〇一 大宮市高鼻町 氷川神社 明治31年(1898)

埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.

楕円の中に，小円，大円が入っている。小円の直径が 1 寸のとき，楕円の長径はいかほどか。

楕円の長半径，短半径，中心を a, b, (0, 0)
大円の半径と中心座標を r1, (0, r2), (x1, r1)
小円の半径と中心座標を r2, (0, 0), (0, 2r2)
とおき，以下の連立方程式を解く。

eq2 は「算法助術」の公式84による。

include("julia-source.txt");

using SymPy

@syms a::poitive, b::positive, r1::positive,
     x1::positive, r2::positive
b = 3r2
r1 = 2r2
eq1 = x1^2 + r2^2 - 4r1^2
eq2 = (a^2 - b^2)*(b^2 - r1^2)/b^2 - x1^2
res = solve([eq1, eq2], (a, x1))[2]  # 2 of 2

   (6*r2, sqrt(15)*r2)

楕円の長半径 a は小円の半径 r2 の 6 倍である。
小円の直径が 1 寸のとき，楕円の長径は 6 寸である。

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r2 = 1/2
   (a , x1) = r2 .* (6, √15)
    b = 3r2
   r1 = 2r2
   @printf("小円の直径が %g 寸のとき，楕円の長径は %g 寸である。\n", 2r2, 2a)
   plot()
   ellipse(0, 0, a, b, color=:blue)
   circle22(0, 2r2, r2, :green)
   circle(0, 0, r2, :green)
   circle22(0, r2, r1, :red)
   circle2(x1, 0, r1, :red)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(a, 0, " a", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, b, " b", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(x1, 0, "大円:r1,(x1,r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(0, 2r2, "小円:r1\n(0,2r2)", :green, :center, delta=-delta/2)
   end
end;

算額（その992）

算額（その992）

一〇一 大宮市高鼻町 氷川神社 明治31年(1898)

埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.

外円の中に，甲円 1 個，乙円 2 個，丙円 4 個，丁円 2 個が入っている。丁円の直径が 1 寸のとき，丙円の半径はいかほどか。

外円の半径と中心座標を R, (0, 0); R = 4r3
甲円の半径と中心座標を r1, (0, r3); r1 = 3r3
乙円の半径と中心座標を r2, (0, -r2); r2 = 2r3
丙円の半径と中心座標を r3, (0, ±r3), (0, ±3r3)
丁円の半径と中心座標を r4, (x4, y4)
とおき，以下の連立方程式を解く。

なお，本件は条件不足であり，丁円の直径が与えられただけでは解けない。
「乙円の直径が 2.5 寸」という条件を加えると，「答」，「術」のとおり「甲円の直径は 3.75 寸」になる。
多分，条件を書き漏らしたのであろう。

include("julia-source.txt");

using SymPy

@syms R::poitive, r1::positive, r2::positive,
     r3::positive, x3::positive,
     r4::positive, x4::positive, y4::negative
R = 2r2
eq1 = x4^2 + (R - r1 - y4)^2 - (r1 + r4)^2
eq2 = x4^2 + (r2 + y4)^2 - (r2 + r4)^2
eq3 = x4^2 + y4^2 - (R - r4)^2
eq4 = x3^2 + r2^2 - (r2 + r3)^2
eq5 = x3^2 + (R - r1)^2 - (r1 - r3)^2
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4, eq5], (r1, r3, x3, x4, y4))[1]  # 1 of 2

   (4*r2*(r2 - r4)/(2*r2 - r4), 2*r2*(2*r2 - 3*r4)/(6*r2 - 5*r4), -4*sqrt(2)*r2*sqrt((r2 - r4)*(2*r2 - 3*r4))/(6*r2 - 5*r4), 2*sqrt(2)*sqrt(r4)*sqrt(r2 - r4), -2*r2 + 3*r4)

丙円の直径は，「乙円と丁円の直径径の差に丙円の直径を掛け，4倍したものを，丙円の直径の2倍と丁円の直径の差で割る」　4r2*(r2 - r4)/(2r2 - r4)
丁円の直径が 1 寸，乙円の直径が 2.5 寸のとき，丙円の直径は 4*2.5*(2.5 - 1)/(2*2.5 - 1) = 3.75 寸になる。

(4*2.5*(2.5 - 1))/(2*2.5 - 1)

   3.75

function draw(r4, r2, more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (r1, r3, x3, x4, y4) = (4*r2*(r2 - r4)/(2*r2 - r4), 2*r2*(2*r2 - 3*r4)/(6*r2 - 5*r4), -4*sqrt(2)*r2*sqrt((r2 - r4)*(2*r2 - 3*r4))/(6*r2 - 5*r4), 2*sqrt(2)*sqrt(r4)*sqrt(r2 - r4), -2*r2 + 3*r4)
   R = 2r2
   @printf("丁円の直径が %g，乙円の直径が %g のとき，甲円の直径は %g\n", 2r4, 2r2, 2r1)
   string = @sprintf("丁円の直径 = %g\n乙円の直径 = %g\n甲円の直径 = %g\n", 2r4, 2r2, 2r1)
   plot()
   circle(0, 0, R, :blue)
   circle(0, R - r1, r1, :green)
   circle22(0, r2, r2)
   circle2(x3, 0, r3, :magenta)
   circle2(x4, y4, r4, :orange)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(0, R - r1, "甲円:r1,(0,R-r1)", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(0, -r2, "乙円:r2,(0,-r2)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(x3, 0, "丙円:r3,(x3,0)", :magenta, :center, delta=-delta/2)
       point(x4, y4, "丁円:r4,(x4,y4)", :orange, :center, delta=-delta/2)
       point(0, R - r1/2, string, :black, mark=false, deltax=-11.5delta)
   end
end;

draw(0.5, 1.25, true)

   丁円の直径が 1，乙円の直径が 2.5 のとき，甲円の直径は 3.75

draw(0.5, 1, true)

   丁円の直径が 1，乙円の直径が 2 のとき，甲円の直径は 2.66667

draw(0.5, 1.5, true)

   丁円の直径が 1，乙円の直径が 3 のとき，甲円の直径は 4.8

算額（その991）

算額（その991）

一〇一 大宮市高鼻町 氷川神社 明治31年(1898)
埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.
キーワード：円10個

外円の中に，甲円 1 個，乙円 2 個，丙円 4 個，丁円 2 個が入っている。丁円の直径が 1 寸のとき，丙円の半径はいかほどか。

外円の半径と中心座標を R, (0, 0); R = 4r3
甲円の半径と中心座標を r1, (0, r3); r1 = 3r3
乙円の半径と中心座標を r2, (0, -r2); r2 = 2r3
丙円の半径と中心座標を r3, (0, ±r3), (0, ±3r3)
丁円の半径と中心座標を r4, (x4, y4)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy

@syms R::poitive, r1::positive, r2::positive, r3::positive,
     r4::positive, x4::positive, y4::negative
R = 4r3
r1 = 3r3
r2 = 2r3
eq1 = x4^2 + y4^2 - (R - r4)^2
eq2 = x4^2 + (r3 - y4)^2 - (r1 + r4)^2
eq3 = x4^2 + (y4 + r2)^2 - (r2 + r4)^2
res = solve([eq1, eq2, eq3], (r3, x4, y4))[1]

   (5*r4/4, 2*sqrt(3)*r4, -2*r4)

丙円の半径 r3 は丁円の半径 r4 の 5/4 倍である。
丁円の直径が 1 寸のとき，丙円の半径は 1.25 寸である。

その他のパラメータは以下のとおりである。

   R = 2.5;  r1 = 1.875;  r2 = 1.25;  r3 = 0.625;  r4 = 0.5;  x4 = 1.73205;  y4 = -1

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r4 = 1/2
   (r3, x4, y4) = r4 .* (5/4, 2√3, -2)
   R = 4r3
   r1 = 3r3
   r2 = 2r3
   @printf("丁円の直径が %g のとき，丙円の半径は %g 寸である。\n", 2r4, 2r3)
   @printf("R = %g;  r1 = %g;  r2 = %g;  r3 = %g;  r4 = %g;  x4 = %g;  y4 = %g\n", R, r1, r2, r3, r4, x4, y4)
   plot()
   circle(0, 0, R, :blue)
   circle22(0, 3r3, r3)
   circle22(0, r3, r3)
   circle(0, r3, r1, :magenta)
   circle22(0, r2, r2, :green)
   circle2(x4, y4, r4, :orange)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(0, R, " R", :blue, :center, :bottom, delta=delta/2) 
       point(0, 3r3, "丙円:r3,(0,3r3)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(0, -r2, "乙円:r2,(0,-r2)", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(0, r3, "甲円:r1,(0,r3)", :magenta, :center, delta=-delta/2)
       point(x4, y4, "丁円:r4\n(x4,y4)", :orange, :center, delta=-delta/2)
   end
end;

算額（その990）

算額（その990）

一〇一 大宮市高鼻町 氷川神社 明治31年(1898)

埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.

外円の中に水平な弦を引き，その上下に互いに外接し合う大円，小円を入れる。小円の直径が 1 寸のとき，大円の直径はいかほどか。

外円の半径と中心座標を R, (0, 0)
大円の半径と中心座標を r1, (0, R - r1), (r1, R - 3r1)
小円の半径と中心座標を r2, (x2, R - 2r1 + r2)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy

@syms R::poitive, r1::positive, r2::positive, x2::positive
eq1 = r1^2 + (R - 3r1)^2 - (R - r1)^2
eq2 = x2^2 + (R - 2r1 + r2)^2 - (R - r2)^2
eq3 = x2^2 + (r1 - r2)^2 - (r1 + r2)^2
res = solve([eq1, eq2, eq3], (R, r1, x2))[1]

   (81*r2/20, 9*r2/5, 6*sqrt(5)*r2/5)

大円の半径 r1 は小円の半径 r2 の 9/5 倍である。
小円の直径が 1 寸のとき，大円の半径は 1.8 寸である。

その他のパラメータは以下のとおりである。

   R = 2.025;  r1 = 0.9;  r2 = 0.5;  x2 = 1.34164

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r2 = 1/2
   (R, r1, x2) = r2 .* (81/20, 9/5, 6√5/5)
   @printf("小円の直径が %g のとき，大円の半径は %g である。\n", 2r2, 2r1)
   @printf("R = %g;  r1 = %g;  r2 = %g;  x2 = %g\n", R, r1, r2, x2)
   y = R - 2r1
   plot()
   circle(0, 0, R, :blue)
   circle2(r1, R - 3r1, r1)
   circle(0, R - r1, r1)
   circle2(x2, y + r2, r2, :green)
   x = sqrt(R^2 - y^2)
   segment(-x, y, x, y, :orange)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(0, R - r1, "大円:r1,(0,R-r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(r1, R - 3r1, "大円:r1,(r1,R-3r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(x2, R - 2r1 + r2, "小円:r2\n(x2,R-2r1+r2)", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(0, R, " R", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, R - 2r1, "R-2r1", :orange, :center, delta=-delta/2)
   end
end;