マッキーの学習指導法：今年の女子学院中学校入試問題「算数」・・・その２

 
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　今春の中学入試に出題された、男女御三家の算数の問題を取り上げ、その傾向と対策について幾つか問題をピックアップして、問題傾向を分析しています。今日は、下のブログに続いて女子学院算数の解説二回目です。

マッキーの学習指導法：今年の女子学院中学校入試問題「算数」・・・その１

　今日取り上げる問題は、最後の問題６です。通学時間に関する平均の問題で、時間の範囲を含む与えられた条件が理解できるかどうかがポイントとなります。


【問題６】

　あるクラス３０人の生徒の通学時間を調べたら、次のことが分かりました。

　　５０分以上の生徒の通学時間の平均は、５８分
　　５０分未満の生徒の通学時間の平均は、２４分
　　６０分以上の生徒の通学時間の平均は、６５分
　　６０分未満の生徒の通学時間の平均は、２７分
　　５０分以上６０分未満の生徒の人数は、５人

　通学時間が６０分以上の生徒の人数は□人で、クラス全体の通学時間の平均は□分□秒です。


【解説】

　様々な解き方が考えられますが、通学時間が６０分以上の生徒人数を□人として、文字式で条件を整理し、その式を解くことにより求めるのが、最も簡単な方法です。上位校を受験する場合、文字式で条件を整理する力が求められます。

　通学時間が６０分以上の生徒の人数を□人として、クラス30人の通学時間の合計を求めてみます。

　６０分以上の生徒と６０分未満の生徒の通学時間の平均を用いると、
　　６５×□+２７×（３０－□）

　５０分以上の生徒と５０分未満の生徒の通学時間の平均を用いると、
　　５８×（□＋５）＋２４×（２５－□）

　無論のこと、二つの式は等しくなりますので、
　　６５×□+２７×（３０－□）＝５８×（□＋５）＋２４×（２５－□）

　左辺と右辺を整理すると、
　　３８×□＋８１０＝３４×□＋８９０
　　　　　　　４×□＝８０
　　　　　　　　　□＝２０（人）・・・６０分以上の生徒数

　クラス全体の通学時間の合計は、上の式に代入して、３８×２０＋８１０＝１５７０

　よって求めるクラス全体の通学時間の平均は、１５７０÷３０＝５２と１/３（分）
　　５２と１/３（分）＝５２分２０秒・・・クラス全体の通学時間の平均

　平均の問題は、総和（合計）を求めて計算する問題が基本形で、応用問題として面積図を用いて条件を整理する問題などが一般的です。今回の問題は、数値の範囲を絡めた問題で、文字式で解くと比較的簡単に解くことができます。


【追記】
　ある方から、「この問題を満たす解が無い」のではないかという指摘がありました。今回問題を解いた数値を用いて、問題の確かめをしてみると、明らかにこの問題は、出題ミスだったことが分かりました。

　では、皆さんが分かるように確かめをしてみましょう。

　「６０分以上の生徒の通学時間の平均は、６５分」という条件から、その２０人の総和は、６５×２０＝１３００（分）
　「５０分以上の生徒の通学時間の平均は、５８分」という条件から、５０分以上６０分未満の生徒の人数５人を加えた２５人の総和は、５８×２５＝１４５０（分）

　この結果から、５０分以上６０分未満の生徒の人数５人の総和は、１４５０－１３００＝１５０〈分）
よって、この５人の平均通学時間は、１５０÷５＝３０（分）となります。

　通学時間５０分以上６０分未満の生徒５人の平均時間が、３０分となってしまいますので、この問題の条件を満たす解は無いということになります。与えられた条件を鵜呑みに問題を解くと、私が出した答えが出てきます。しかし、設定された条件が、実は矛盾する設定だったという出題ミスでした。

　入試を実施する前に訂正を出したのか、事後に配点考慮したのかは、情報はありません。明らかに恥ずかしい出題ミスも、毎年見かけます。今回の問題の出題者は、構成した問題を注意深くチェックして見るべきでした。私自身も、同様の表面的な解答をしただけでした。訂正して、お詫びします。