透明半球 （1）

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近くの中学校で生徒の自習をお手伝いして，「透明半球」を用いた説明を知りました．地球の「自転」，「公転」にご無沙汰して５０余年で，南中時の仰角を「南中高度」ということも知らず，逆に教えてもらいました．帰宅後，透明半球上に描かれる太陽の軌跡について考えましたので，塾や家庭教師のアルバイトをしている諸君への参考として紹介します．

xy 平面上に公転の軌道をとり，太陽を固定した図は簡単に描け，上記中央の図で各季節における日照時間を説明できます．朝日が出て夕日が沈むのが地平線（水平線）上であることは，どの季節でも太陽光線と垂直な大円上に来たとき，地面に立てた法線と太陽光線が垂直であることから分かります．仰角の変化は各時刻での（接平面でなく）法線と太陽光線のなす角を平面図と立面図を用いて説明した後，平面図と斜交するマッチ棒等を動かして実際の角度を空間的に示すと分かり易いと思います．南中高度が立面図に現れるのは夏至と冬至だけですが，一般に南中時に法線が大体太陽の方向を向いていることは図で説明できます．各法線での太陽の方向が分かれば，後は法線を共用した寄せ集め．

補足： 上図右のように地軸に垂直に平面図をとれば，太陽光線は斜めになりますが，法線は回転対称になるので作図しやすくなります．球面座標系は使用禁止ですが，法線と光線の単位ベクトルで作られる三角形の各辺の複面投象から仰角を求めることができます --- 線分の立面図と平面図から線分の長さが分かります．三角形の各辺の長さが分かれば角度が分かります．
                      
[1] 透明半球 - Yahoo!知恵袋
  http://chiebukuro.yahoo.co.jp/tag/tags.php?tag=%E9%80%8F%E6%98%8E%E5%8D%8A%E7%90%83
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[2] 理科・透明半球で日の出・日の入り時刻の計算 : なるほどの素
  http://blog.livedoor.jp/veritedesu/archives/1932070.html