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 [4-26] Ｍ系列の自己相関 |
#44: Ｍ系列
GF(2)上の多項式 x4 を原始多項式 x4 + x + 1 で割った有理式を級数に展開すると
x4 / (x4 + x + 1) = 1 + x-3 + x-4 + x-6 + x-8 + x-9 + x-10 + x-11 + x-15 + ………
となり，右辺の級数の係数は長さ 24 - 1 = 15 の系列 100110101111000 の繰返しになります．この系列をＭ系列といいます．0, 1 を -1, 1 で置換したときの自己相関は上図のようになり（上図は n = 7），ランダム雑音に近いので擬似乱数として用いられています．
x4 / (x4 + x + 1) = 1 / (1 + x-3 + x-4)
ですから，このＭ系列が循環する信号を， GF(2) 上の伝達関数が 1 / (1 + z-3 + z-4) である回路のインパルス応答とみることができます．巡回符号では符号多項式を考えるので，対応するｚ変換は両側ｚ変換になりますが，sys.pdf では因果的なインパルス応答をもつ回路で考えます（信号は多項式でもよい）．このＭ系列の１周期（のモニック多項式表示）を P(z) = z14 + z11 + …… + z3 とおくと
1 / (1 + z-3 + z-4) = z-14 P(z) / (1 + z-15) = z-14 Σk P(z) z-15k
です．また，伝達関数 1 / (1 + z-3 + z-4) の回路に伝達関数 (1 + z-15) の回路を接続すると z-14 P(z) をインパルス応答とする回路になります．
補足：上記の級数の連続する４個の係数は計算途中の剰余もどき（線形帰還シフトレジスタの状態）を表しています．剰余もときが 0001 になった時点で循環が始まります． 100110101111000 を１ビットずつずらした４ビットのパターンに 0000 以外のすべてが含まれていることを確認してください．もちろん４ビットのパターンが表わす GF(216) の元の四則演算は原始多項式 x4 + x + 1 を法とする多項式の演算です．
[4-25] M系列 - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/M%E7%B3%BB%E5%88%97
重要な応用として擬似乱数列の生成がある。
[4-26] M-series generator polynomials
http://www.finetune.jp/~lyuka/technote/lfsr/lfsr.html
[4-27] M系列信号の性質と応用
http://www.cqpub.co.jp/dwm/contents/0007/dwm000701150.pdf