cos（２π/７）の値

円分方程式ｘ^n＝１の解は単位円の周の等分点なので、三角関数で簡単に表せるが、代数的にも解けることをガウスが証明している。
例えばｘ^7＝１は７次方程式だが、代数的に解ける。これは、cos(2π/7）やsin(2π/7）を根号などを使って表せるということだ。
だが、公式集でこれらの値を目にした記憶がない。解いてみよう（sin(2π/7)は cos(2π/7)から簡単に算出できるのでとりあえずcos(2π/7)の算出を目指す）。
ｘ^7＝１を変形して

ｘ＝１は自明なので無視。残りの部分は６次だが、相反方程式なので3次に帰着可能。3次方程式ならカルダノの公式で解ける。

まずは　相反方程式。

いよいよカルダノ。公式に係数の値を代入するのが普通だが、私の場合、代入をミスりがちなので「カルダノの公式」の導出に沿って解を導くことにする。復習にもなるし。

ｕ^3、ｖ^3の和と積が与えられたから

これがａの値で、1/3 を引くとｔ になる。実数に見えないが、ｔ＝ｘ＋１／ｘ で、１／ｘはｘの共役複素数になるから、実数。cos(2π/7)は t/2となる。

なんだろう、これは。立方根の記号が出てくるのは当然としても、虚数の立方根とは。虚数の立方根は、偏角を1/3にして、大きさの立方根を計算すれば良いが、偏角を求める際などに関数電卓が必要だ。でも関数電卓があるなら普通にcos（2π/7）を計算した方が簡単だ。

なるほど、これでは公式集に載せても意味がない。

遥かな昔

実家へ行って断捨離をしていたら、ダンボール箱の中からン十年前のプログラム電卓（プロ電）の本が出てきた。内容はほぼ全てゲームのプログラムで、これを入力すると、プロ電（関数電卓かポケコン）がゲーム機に早変わり。

まだＤＳもゲームボーイもない時代だ。パソコンはあったが金がなくて買えなかった。そこでプロ電をゲーム機にして、通学や帰宅の際に遊んでいた。まるで今、ＰＳＰで遊んでいる人のように。自分でゲームを作ったこともあった。

ゲームの名前はガン○ムとか○ターウォーズとか、「著作権、大丈夫か？」と思ってしまうものが多い。昔は日本もこうしたことにおおらかだった。ただしゲームの内容は数字やアルファベットを戦闘機やミサイルに見立てるので、想像力が要求された。本当にゲーム名だけだ。

この本を買ったときのレシートが中に挟まっていた。「近鉄」と書いてあるから恐らく近鉄ビルの星野書店だろう。日付は３月下旬。自分が一浪後、大学に合格したときだ。浪人中、自分はバイトをしていて、合格発表の後、自分へのご褒美としてパソコンを買っていた。もはやプロ電は不要の筈だが、どういうつもりでこの本を買ったのだろう。