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cos(2π/7)の値
数学
/
2012年07月08日
円分方程式x^n=1の解は単位円の周の等分点なので、三角関数で簡単に表せるが、代数的にも解けることをガウスが証明している。
例えばx^7=1は7次方程式だが、代数的に解ける。これは、cos(2π/7)やsin(2π/7)を根号などを使って表せるということだ。
だが、公式集でこれらの値を目にした記憶がない。解いてみよう(sin(2π/7)は cos(2π/7)から簡単に算出できるのでとりあえずcos(2π/7)の算出を目指す)。
x^7=1を変形して
x=1は自明なので無視。残りの部分は6次だが、相反方程式なので3次に帰着可能。3次方程式ならカルダノの公式で解ける。
まずは 相反方程式。
いよいよカルダノ。公式に係数の値を代入するのが普通だが、私の場合、代入をミスりがちなので「カルダノの公式」の導出に沿って解を導くことにする。復習にもなるし。
u^3、v^3の和と積が与えられたから
これがaの値で、1/3 を引くとt になる。実数に見えないが、t=x+1/x で、1/xはxの共役複素数になるから、実数。cos(2π/7)は t/2となる。
なんだろう、これは。立方根の記号が出てくるのは当然としても、虚数の立方根とは。虚数の立方根は、偏角を1/3にして、大きさの立方根を計算すれば良いが、偏角を求める際などに関数電卓が必要だ。でも関数電卓があるなら普通にcos(2π/7)を計算した方が簡単だ。
なるほど、これでは公式集に載せても意味がない。
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