cos（２π/７）の値

円分方程式ｘ^n＝１の解は単位円の周の等分点なので、三角関数で簡単に表せるが、代数的にも解けることをガウスが証明している。
例えばｘ^7＝１は７次方程式だが、代数的に解ける。これは、cos(2π/7）やsin(2π/7）を根号などを使って表せるということだ。
だが、公式集でこれらの値を目にした記憶がない。解いてみよう（sin(2π/7)は cos(2π/7)から簡単に算出できるのでとりあえずcos(2π/7)の算出を目指す）。
ｘ^7＝１を変形して

ｘ＝１は自明なので無視。残りの部分は６次だが、相反方程式なので3次に帰着可能。3次方程式ならカルダノの公式で解ける。

まずは　相反方程式。

いよいよカルダノ。公式に係数の値を代入するのが普通だが、私の場合、代入をミスりがちなので「カルダノの公式」の導出に沿って解を導くことにする。復習にもなるし。

ｕ^3、ｖ^3の和と積が与えられたから

これがａの値で、1/3 を引くとｔ になる。実数に見えないが、ｔ＝ｘ＋１／ｘ で、１／ｘはｘの共役複素数になるから、実数。cos(2π/7)は t/2となる。

なんだろう、これは。立方根の記号が出てくるのは当然としても、虚数の立方根とは。虚数の立方根は、偏角を1/3にして、大きさの立方根を計算すれば良いが、偏角を求める際などに関数電卓が必要だ。でも関数電卓があるなら普通にcos（2π/7）を計算した方が簡単だ。

なるほど、これでは公式集に載せても意味がない。