四等分

出典は忘れてしまったが、どこかのWebで見かけた問題。

（問題）四角形ＡＢＣＤの各辺を２等分する点を下図のようにＥ，Ｆ，Ｇ，Ｈとする。

２直線ＥＧ，ＦＨが四角形ＡＢＣＤを４等分するとき、四角形ＡＢＣＤは平行四辺形であることを証明せよ。

そのサイトの解法が実にみごとで、シンプル。

（証明）２直線ＥＧ，ＦＨが四角形ＡＢＣＤを４等分するので、
　　四角形ＡＢＦＨ＝四角形ＨＦＣＤ　・・・（１）

　ＡＨ＝ＨＤなので
　　△ＡＨＦ＝△ＨＤＦ　　　・・・（２）
（１）－（２）
　　△ＡＢＦ＝△ＤＦＣ
ＢＦ＝ＦＣなので、△ＡＢＦと△ＤＦＣは高さが同じ。よってＡＤ//ＢＣ。
同様にしてＡＢ//ＣＤも示すことができるので、四角形ＡＢＣＤは平行四辺形。（証明終わり）

自力でも解けたのだが、ＥＦ，ＦＧ，ＧＨ，ＨＥを結んでごちゃごちゃやる非常に面倒な方法なので書く気がしない。

ところで、この解法によれば、四角形ＡＢＦＨ＝四角形ＨＦＣＤと四角形ＡＥＧＤ＝四角形ＢＣＧＥは必要だが、２直線ＥＧ，ＦＨが四角形ＡＢＣＤを４等分する必要はない。だから、下図で黄色の四角形同士、緑の四角形同士の面積が等しければよいことになる。

ところが、四角形ＡＢＣＤは平行四辺形になるので、必然的に２直線ＥＧ，ＦＨは四角形ＡＢＣＤを４等分することになる。つまり、上図で、黄色と緑の面積が異なる図は作図できないのだ。

さわやかウォーキング

自宅付近を歩いていたら、町のあちこちに矢印が張ってある。駅ちかウォークの看板に似ているが、よく見たら「ＪＲ東海」と書いてある。駅ちかの元になった（？）ＪＲのさわやかウォーキングか。

駅ちかは地下鉄の駅から駅までだが、この付近にＪＲの駅は２つもないはず。ネットで調べたら13日に鶴舞駅から東山公園までいくウォーキングが開催されるとのこと。ずいぶん長い！　鶴舞駅はＪＲ中央線だが、東山公園にはＪＲの駅は無い。帰りは地下鉄などでお帰りくださいということか。ご苦労様。

今回もそうだが、さわやかウォーキングは距離が長く、本当に健脚な人でないと参加できないので敬遠している。一度だけ参加したことがあるが。