久々の数学

半年ぶりに教えて！数学から。
円に内接する四角形ＡＢＣＤがあり、ＡＢ＝１７、ＢＣ＝２８，ＣＤ＝１１，ＤＡ＝１４である。ＡＢ，ＣＤ，ＤＡに内接する円の半径を求めよ。


三角形の内接円の半径を求めるのは何度もやったが四角形の３辺に内接する円の半径とは。はて？
円の中心は、∠ＢＡＤの二等分線と∠ＣＤＡの二等分線の交点だから一意に定まるのは確かだ。
とりあえず四角形ＡＢＣＤが円に内接するのだから
　∠ＢＡＤ＋∠ＤＣＢ＝１８０°　∠ＣＤＡ＋∠ＡＢＣ＝１８０°
この辺から攻めようか。


ＡＢとＣＤの交点をＥとする。△ＥＢＣと△ＥＤＣで　四角形ＡＢＣＤが円に内接するから　∠ＢＡＤ＋∠ＥＣＢ＝１８０°
また　∠ＢＡＤ＋∠ＥＡＤ＝１８０°だから∠ＥＣＢ＝∠ＥＡＤ　
∠Ｅは共通ゆえ２角が等しい。　∴△ＥＢＣ∽△ＥＤＣ

とても相似に見えないが、それは私が描いた四角形ＡＢＣＤの形が狂っているから。
△ＥＢＣ∽△ＥＤＣなので
　ＥＡ：ＥＣ＝ＥＤ：ＥＢ＝ＤＡ：ＢＣ
ＤＡ：ＢＣ＝１４：２８　だから　ＥＡ：ＥＣ＝ＥＤ：ＥＢ＝１：２

ＥＡ＝ａ、ＥＤ＝ｂとすると　　ａ：ｂ＋１１＝ｂ：ａ＋１７＝１：２
これを解くと　ａ＝１３　ｂ＝１５

内接円の中心Ｏから、ＡＢ，ＣＤ，ＤＡに下ろした垂線の足をＦ，Ｇ，Ｈとする。
ＡＦ＝ｃ、ＤＧ＝ｄとすると、ＥＦ＝ＥＧだから
　１３＋ｃ＝１５＋ｄ　・・・（１）
ＡＦ＝ＨＡ，ＤＧ＝ＤＨだから
　ＤＡ＝ＤＨ＋ＨＡ＝ＧＤ＋ＦＡ＝ｃ＋ｄ＝１４　　・・・（２）
（１）（２）を解いて　ｃ＝８　ｄ＝６
四角形ＥＦＯＧ＝△ＥＡＤ＋五角形ＯＧＤＡＦ
四角形ＥＦＯＧ＝２△ＥＦＯ、　五角形ＯＧＤＡＦ＝２△ＯＤＡ
求める半径をｒとすると
２×（１３＋８）ｒ／２＝△ＥＡＤ＋２×１４×ｒ／２
　　　２１ｒ＝△ＥＡＤ＋１４ｒ
ヘロンの公式で　△ＥＡＤ＝√（２１・８・７・６）＝８４
よって　ｒ＝１２