平方根を作図

　先週に東海地方で放送された「たけしのコマ大数学科」でデュードニーのパズルが紹介されていた。正三角形を４つに切り分けて並べ直して正方形を作れと。この問題は以前に見たことがあったが、「大体こんな風」という大雑把な理解しかしていなかった。そこで、今回は真剣に取り組んだ。
　こういう問題は、正方形の１辺の長さを求めるのが先決だろう。すると、３の４乗根を作図する必要があることが分かった。３の平方根の作図は簡単だ。これの平方根を更に作図すればいいのだが、これが分からない。整数の平方根なら分かるが、任意の長さの線分の平方根の作図ってどうやるんだっけ。残念ながらギブアップ。番組の答えを見たが、テクニカルすぎる。

　そうしたところ、最近やっと思いついた。与えられた長さａの平方根は、１とａの相乗平均を作図すればいいのだ。
　平方根といっても、「１」の長さが分からなければ作図のしようがない。例えば、ａ＝１だったら作図の必要はないし、ａ＝１００だったら√１００＝１０なので１／１０にすることになり、全然異なる。そこで、与えられたａと１の長さが下のようだったとしよう。

　ここから√ａを作図するわけだ。まずは下図のように２本の線分を一直線に並べる。

ＡＢ＝ａ、ＢＣ＝１である。
　次にＡＣを直径とする半円を描く。

　そしてＡＣの垂線をＢから引き、半円との交点をＤとする。

　こうすると、△ＡＣＤが直角三角形なので、△ＡＢＤ∽△ＤＢＣ。
よって　ａ：ＢＤ＝ＢＤ：１。
ここからＢＤ^2＝ａ・１となるから　ＢＤ＝√ａ
これにて作図成功。でもこれってａ＝√３とすると、上記番組の解答の冒頭でやってることと同じですな。

　ところでこの番組、この地方では半年おくれて放送されている。それだけでなく、途中で2回に分けて計１年分ほど飛ばしている。見逃した分が全てＤＶＤ化されるとは思えない。放送してくれないかなぁ、東海テレビ。（－４）