等積変形の問題

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、先日塾生が取り組んでいた等積変形の問題を取り上げます。

問題は、
「下図の△ＡＢＣにおいて、△ＸＱＢ、△ＸＢＣ、△ＸＣＰの面積がそれぞれ３ｃｍ2、７ｃｍ2、７ｃｍ2のとき、△ＡＢＣの面積を求めなさい。」

▲図．問題図

です。

いろいろな解き方があると思いますが、ここでは下図のように、ＡとＸを結び、△ＡＸＱ、△ＡＸＰの面積をそれぞれＳとＴとし、等積変形を利用して立式するのが簡単そうです。

▲図．ＡとＸを結び、△ＡＸＱ、△ＡＸＰの面積をそれぞれＳとＴとしました

まず、
△ＣＸＢの面積：△ＣＸＰの面積＝７：７
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝１：１
から
ＢＸ：ＰＸ＝１：１
です。

したがって、
△ＡＸＢの面積：△ＡＸＰの面積＝Ｓ＋３：Ｔ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ＢＸ：ＰＸ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝１：１
で、
Ｓ＋３＝Ｔ　　　　　　　（１）
が成り立ちます。

次に、
△ＢＸＱの面積：△ＢＸＣの面積＝３：７
から
ＱＸ：ＣＸ＝３：７
です。

したがって、
△ＡＸＱの面積：△ＡＸＣの面積＝Ｓ：Ｔ＋７
　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ＝ＱＸ：ＣＸ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝３：７
で、
７Ｓ＝３（Ｔ＋７）　　　　（２）
が成り立ちます。

ここで、連立方程式（１）（２）を解くと、
７Ｓ＝３（Ｓ＋３＋７）
から
Ｓ＝１５/２
Ｔ＝２１/２
です。

以上から、
△ＡＢＣの面積＝Ｓ＋Ｔ＋３＋７＋７
　　　　　　　　　＝１５/２＋２１/２＋１７
　　　　　　　　　＝３５ ｃｍ2
で、これが答えです。


等積変形は中高入試の頻出事項なので、しっかりマスターしましょう。