等積変形を利用した作図問題

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、近隣の中学校の学年末試験用プリントにあった、等積変形を利用した作図問題を取り上げます。

問題は、
「下図の四角形ＡＢＣＤで、辺ＢＣ上の点Ｐを通り、四角形ＡＢＣＤの面積を２等分する線分ＰＱを作図しなさい。ただし、点Ｑは辺ＡＤ上にあるものとします。」

▲問題図

三角形の辺上（頂点を含まない）にある点を通り、その三角形の面積を２等分する直線の作図方法や、四角形を面積を変えないで三角形に変形する作図方法は、中学校で使っているワークなどに載っています。

この問題は、これらの２つの作図方法を組み合わせれば解決できそうです。

そこで、まず四角形ＡＢＣＤを等積の三角形に変形しましょう。

図１のように、ＡＣと平行でＤを通る直線を引き、この直線とＢＣの延長との交点をＥとします。

▲図１．四角形ＡＢＣＤを等積の△ＡＢＥに変形します

すると、△ＡＣＤと△ＡＣＥの面積は等しくなるので、四角形ＡＢＣＤと△ＡＢＥの面積は等しくなります。

次に、点Ｐを通り、△ＡＢＥの面積を２等分する直線を作図します。

図２のように、線分ＢＥの中点をＭとすると、△ＡＢＭと△ＡＥＭの面積は等しくなります。

▲図２．点Ｐを通り、△ＡＢＥの面積を２等分する直線を作図します

ここで、ＡＰと平行な点Ｍを通る直線を引き、この直線とＡＥとの交点をＦとすると、△ＡＰＭと△ＡＰＦの面積は等しくなります。

つまり、△ＡＢＭと四角形ＡＢＰＦの面積は等しく、四角形ＡＢＰＦの面積は、△ＡＢＥ、すなわち、四角形ＡＢＣＤの１/２ということです。

最後に、もう一度、等積変形して辺ＡＤ上の点を見つけましょう。

図３のように、ＭＦの延長と辺ＡＤとの交点をＱとするとＡＰ//ＭＱですから、△ＡＰＦと△ＡＰＱの面積は等しくなります。

▲図３．辺ＡＤ上に点Ｑを作図します

つまり、四角形ＡＢＰＦと四角形ＡＢＰＱの面積は等しく、四角形ＡＢＰＱの面積は、四角形ＡＢＣＤの１/２ということです。

以上から、四角形ＡＢＣＤを２等分する線分ＰＱを作図することができました。

図４に、図１から図３までをまとめたものを示します。

▲図４．図１から図３までをまとめた図です

平行線を利用した等積変形を３回使うので、中２生にとっては少し厄介な作図かもしれませんが、これができたら学年末試験の等積変形は問題ないでしょう。