こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、２０１８年桜蔭中入試に出題された面積問題を取り上げます。
問題は、
「半径が３ｃｍの円Ａと、１辺の長さが６ｃｍの正方形Ｂを用いてできる次の３つの図形をＡ＋Ａ、Ａ＋Ｂ、Ｂ＋Ｂと呼ぶことにします。
このとき、次の問いに答えなさい。
① Ａ＋Ａ、Ａ＋Ｂ、Ｂ＋Ｂの面積はそれぞれ何 ｃｍ2 ですか。
② 同じように、ＡとＢを組み合わせて１０個用いて、下のような図形を作ります。
両端にＡを使うとき、Ｂをできるだけ少なく使って面積が２５０ ｃｍ2 以上の図形を作るには、Ｂを何個使いますか。また、作った図形の面積は何 ｃｍ2 ですか。」
です。
早速、①から取り掛かりましょう。
各図形の面積は、２個の円または正方形の面積の和からそれらが重なっている部分の面積を引いたものになります。
Ａ＋Ａの重なった部分は、図１の青色でマークした図形で、この面積は、１辺３ｃｍの正方形から半径３ｃｍの四分の一円の面積を引いたものの２倍を、１辺３ｃｍの正方形の面積から引いたものです。
▲図１．Ａ＋Ａの重なった部分を青色でマークしました
つまり、
（Ａ＋Ａの重なった部分の面積）＝３×３－（３×３－３×３×３．１４÷４）×２
＝５．１３ （ｃｍ2）
です。
したがって、
（Ａ＋Ａの面積）＝（Ａの面積）×２－（Ａ＋Ａの重なった部分の面積）
＝３×３×３．１４×２－５．１３
＝５１．３９ （ｃｍ2）
です。
Ａ＋Ｂの重なった部分は、図２の青色でマークした図形で、この面積は、半径３ｃｍの四分の一円の面積です。
▲図２．Ａ＋Ｂの重なった部分を青色でマークしました
つまり、
（Ａ＋Ｂの重なった部分の面積）＝３×３×３．１４÷４
＝７．０６５ （ｃｍ2）
です。
したがって、
（Ａ＋Ｂの面積）＝（Ａの面積）＋（Ｂの面積）－（Ａ＋Ｂの重なった部分の面積）
＝３×３×３．１４＋６×６－７．０６５
＝５７．１９５ （ｃｍ2）
です。
Ｂ＋Ｂの重なった部分は、図３の青色でマークした図形で、この面積は、１辺３ｃｍの正方形の面積です。
▲図３．Ｂ＋Ｂの重なった部分を青色でマークしました
つまり、
（Ｂ＋Ｂの重なった部分の面積）＝３×３
＝９ （ｃｍ2）
です。
したがって、
（Ｂ＋Ｂの面積）＝（Ｂの面積）×２－（Ｂ＋Ｂの重なった部分の面積）
＝６×６×２－９
＝６３ （ｃｍ2）
です。
以上をまとめると、Ａ＋Ａの面積 ５１．３９ｃｍ2 、Ａ＋Ｂの面積 ５７．１９５ｃｍ2 、Ｂ＋Ｂの面積 ６３ｃｍ2 で、これが答えです。
続いて②です。
Ａを１０個用いて問題図のような図形を作った場合、その面積は、
（Ａ１０個の面積）＝（Ａの面積）×１０－（Ａ＋Ａの重なった部分の面積）×９
＝３×３×３．１４×１０－５．１３×９
＝２３６．４３（ｃｍ2）
で、これからＡをＢに入れ替えることで図形の面積を２５０ ｃｍ2 以上にします。
ここで、Ａ＋ＢとＡ＋Ａ、Ｂ＋ＢとＡ＋Ｂの重なった部分の面積差を計算すると、それらは、
（Ａ＋ＢとＡ＋Ａの面積差）＝７．０６５－５．１３＝１．９３５ （ｃｍ2）
（Ｂ＋ＢとＡ＋Ｂの面積差）＝９－７．０６５＝１．９３５ （ｃｍ2）
です。
つまり、ＡをＢに入れ替える場合、
・Ａ＋Ａの重なった部分がＡ＋Ｂの重なった部分に入れ替わる
または、
・Ａ＋Ｂの重なった部分がＢ＋Ｂの重なった部分に入れ替わる
とことになり、いずれの場合も重なった部分の増加する面積は１．９３５ ｃｍ2 です。
そして、これが１個のＢに対して２ヶ所あるので、１個のＡをＢに入れ替えると、重なった部分の面積は、１．９３５×２＝３．８７ ｃｍ2 大きくなります。
したがって、１０個のＡからなる図形でｎ個のＡをＢに入れ替えた図形の面積は、
（１０－ｎ個のＡとｎ個のＢからなる図形の面積）＝２３６．４３－（Ａの面積）×ｎ＋（Ｂの面積）×ｎ－３．８７×ｎ
＝２３６．４３－３×３×３．１４×ｎ＋３６×ｎ－３．８７×ｎ
＝２３６．４３＋３．８７×ｎ
になります。
これが２５０ ｃｍ2 以上になる最小のｎは、
２３６．４３＋３．８７×ｎ≧２５０
３．８７×ｎ≧１３．５７
ｎ≧３．５０・・・
からｎ＝４で、このとき全体の面積は、２５１．９１ ｃｍ2 です。
以上から、Ｂの個数は ４個、図形の面積は ２５１．９１ ｃｍ2 で、これが答えです。
見通しがよい問題ですが、計算が煩雑なので注意しましょう。
今回は、２０１８年桜蔭中入試に出題された面積問題を取り上げます。
問題は、
「半径が３ｃｍの円Ａと、１辺の長さが６ｃｍの正方形Ｂを用いてできる次の３つの図形をＡ＋Ａ、Ａ＋Ｂ、Ｂ＋Ｂと呼ぶことにします。
このとき、次の問いに答えなさい。
① Ａ＋Ａ、Ａ＋Ｂ、Ｂ＋Ｂの面積はそれぞれ何 ｃｍ2 ですか。
② 同じように、ＡとＢを組み合わせて１０個用いて、下のような図形を作ります。
両端にＡを使うとき、Ｂをできるだけ少なく使って面積が２５０ ｃｍ2 以上の図形を作るには、Ｂを何個使いますか。また、作った図形の面積は何 ｃｍ2 ですか。」
です。
早速、①から取り掛かりましょう。
各図形の面積は、２個の円または正方形の面積の和からそれらが重なっている部分の面積を引いたものになります。
Ａ＋Ａの重なった部分は、図１の青色でマークした図形で、この面積は、１辺３ｃｍの正方形から半径３ｃｍの四分の一円の面積を引いたものの２倍を、１辺３ｃｍの正方形の面積から引いたものです。
▲図１．Ａ＋Ａの重なった部分を青色でマークしました
つまり、
（Ａ＋Ａの重なった部分の面積）＝３×３－（３×３－３×３×３．１４÷４）×２
＝５．１３ （ｃｍ2）
です。
したがって、
（Ａ＋Ａの面積）＝（Ａの面積）×２－（Ａ＋Ａの重なった部分の面積）
＝３×３×３．１４×２－５．１３
＝５１．３９ （ｃｍ2）
です。
Ａ＋Ｂの重なった部分は、図２の青色でマークした図形で、この面積は、半径３ｃｍの四分の一円の面積です。
▲図２．Ａ＋Ｂの重なった部分を青色でマークしました
つまり、
（Ａ＋Ｂの重なった部分の面積）＝３×３×３．１４÷４
＝７．０６５ （ｃｍ2）
です。
したがって、
（Ａ＋Ｂの面積）＝（Ａの面積）＋（Ｂの面積）－（Ａ＋Ｂの重なった部分の面積）
＝３×３×３．１４＋６×６－７．０６５
＝５７．１９５ （ｃｍ2）
です。
Ｂ＋Ｂの重なった部分は、図３の青色でマークした図形で、この面積は、１辺３ｃｍの正方形の面積です。
▲図３．Ｂ＋Ｂの重なった部分を青色でマークしました
つまり、
（Ｂ＋Ｂの重なった部分の面積）＝３×３
＝９ （ｃｍ2）
です。
したがって、
（Ｂ＋Ｂの面積）＝（Ｂの面積）×２－（Ｂ＋Ｂの重なった部分の面積）
＝６×６×２－９
＝６３ （ｃｍ2）
です。
以上をまとめると、Ａ＋Ａの面積 ５１．３９ｃｍ2 、Ａ＋Ｂの面積 ５７．１９５ｃｍ2 、Ｂ＋Ｂの面積 ６３ｃｍ2 で、これが答えです。
続いて②です。
Ａを１０個用いて問題図のような図形を作った場合、その面積は、
（Ａ１０個の面積）＝（Ａの面積）×１０－（Ａ＋Ａの重なった部分の面積）×９
＝３×３×３．１４×１０－５．１３×９
＝２３６．４３（ｃｍ2）
で、これからＡをＢに入れ替えることで図形の面積を２５０ ｃｍ2 以上にします。
ここで、Ａ＋ＢとＡ＋Ａ、Ｂ＋ＢとＡ＋Ｂの重なった部分の面積差を計算すると、それらは、
（Ａ＋ＢとＡ＋Ａの面積差）＝７．０６５－５．１３＝１．９３５ （ｃｍ2）
（Ｂ＋ＢとＡ＋Ｂの面積差）＝９－７．０６５＝１．９３５ （ｃｍ2）
です。
つまり、ＡをＢに入れ替える場合、
・Ａ＋Ａの重なった部分がＡ＋Ｂの重なった部分に入れ替わる
または、
・Ａ＋Ｂの重なった部分がＢ＋Ｂの重なった部分に入れ替わる
とことになり、いずれの場合も重なった部分の増加する面積は１．９３５ ｃｍ2 です。
そして、これが１個のＢに対して２ヶ所あるので、１個のＡをＢに入れ替えると、重なった部分の面積は、１．９３５×２＝３．８７ ｃｍ2 大きくなります。
したがって、１０個のＡからなる図形でｎ個のＡをＢに入れ替えた図形の面積は、
（１０－ｎ個のＡとｎ個のＢからなる図形の面積）＝２３６．４３－（Ａの面積）×ｎ＋（Ｂの面積）×ｎ－３．８７×ｎ
＝２３６．４３－３×３×３．１４×ｎ＋３６×ｎ－３．８７×ｎ
＝２３６．４３＋３．８７×ｎ
になります。
これが２５０ ｃｍ2 以上になる最小のｎは、
２３６．４３＋３．８７×ｎ≧２５０
３．８７×ｎ≧１３．５７
ｎ≧３．５０・・・
からｎ＝４で、このとき全体の面積は、２５１．９１ ｃｍ2 です。
以上から、Ｂの個数は ４個、図形の面積は ２５１．９１ ｃｍ2 で、これが答えです。
見通しがよい問題ですが、計算が煩雑なので注意しましょう。