こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、２０１８年桜蔭中入試に出題された並べ方の問題を取り上げます。
問題は、
「同じ大きさの白と黒の正三角形の板がたくさんあります。図のように白い板を２４枚すきまなく並べて正六角形を作ります。
次に、２４枚のうち何枚かを黒い板と取りかえます。
このとき、正六角形の模様は何通り作れますか。
ただし、回転させて同じになるものは同じ模様とみなします。また、正六角形を裏返すことはしません。
① ２４枚のうち１枚を取りかえたとき
② ２４枚のうち２枚を取りかえたとき」
です。
早速 ① から取り掛かりましょう。
正六角形を図１のように、ＡからＦの６つの正三角形に分割すると、これらの正三角形は、６０°、１２０°、１８０°、２４０°または３００°の回転で、互いに重ね合わせることができます。
▲図１．正六角形を６つの正三角形に分割しました
つまり、ある正三角形のなかの小さな正三角形を黒に取りかえた模様は、他の正三角形のなかの同じ位置関係にある小さな正三角形を黒に取りかえた模様と、６０°、１２０°、１８０°、２４０°または３００°の回転によって同じになります。
したがって、２４枚のうち１枚を取りかえたときの模様の数は、分割した１つの正三角形のなかの小さな正三角形の個数に等しく、答えは ４通り です。
続いて ② です。
まず、６つに分割した正三角形の１つのなかの４つの小さな正三角形の２つを黒に取りかえた場合を考えましょう。
この場合の模様は、残りの５つの正三角形で、同じ位置関係にある２つの小さな正三角形を黒に取りかえた模様と、６０°、１２０°、１８０°、２４０°または３００°の回転によって同じになります。
つまり、６つに分割した正三角形の１つのなかの２つの小さな正三角形を黒に取りかえた模様の数は、４つの小さな正三角形からの２つの選び方になるので、４×３÷２＝６（通り）です。
次に、６つに分割した正三角形の２つから、それぞれ１つずつ小さな正三角形を黒に取りかえた場合を考えると、
・２つの正三角形をＡとＢとしたときの模様 ＝ ２つの正三角形を、ＢとＣ、ＣとＤ、ＤとＥ、ＥとＦ、ＦとＡとしたときの模様
・２つの正三角形をＡとＣとしたときの模様 ＝ ２つの正三角形を、ＢとＤ、ＣとＥ、ＤとＦ、ＥとＡ、ＦとＢとしたときの模様
・２つの正三角形をＡとＤとしたときの模様 ＝ ２つの正三角形を、ＢとＥ、ＣとＦとしたときの模様
です。
つまり、２つの正三角形をＡとＢ、ＡとＣ、ＡとＤとしたときのそれぞれの模様の数の和を勘定すればよいことになります。
●２つの正三角形をＡとＢとした場合
ＡとＢの小さな正三角形の選び方は、それぞれ４通りなので、４×４＝１６（通り）です。
●２つの正三角形をＡとＣとした場合
ＡとＣの小さな正三角形の選び方は、それぞれ４通りなので、４×４＝１６（通り）です。
●２つの正三角形をＡとＤとした場合
図２のように、ＡとＤのなかの小さな正三角形をそれぞれＰ、Ｑ、Ｒ、Ｓ、Ｄとｐ、ｑ、ｒ、ｓとします。
▲図２．ＡとＤのなかの小さな正三角形をそれぞれＰ、Ｑ、Ｒ、Ｓとｐ、ｑ、ｒ、ｓとしました
初めにＡからＰを選んだとき、Ｄからの選び方は、ｐ、ｑ、ｒ、ｓの４通りです。
次にＡからＱを選んだとき、Ｄからｐを選んだときの模様は、正六角形を１８０°回転させると、Ｐとｑを選んだときの模様と同じになるので、Ｄからの選び方は、ｑ、ｒ、ｓの３通り になります。
同じように、ＡからＲを選んだとき、Ｄからｐまたはｑを選んだときの模様は、それぞれＰとｒ、Ｑとｒを選んだときの模様と同じになるので、Ｄからの選び方は、ｒ、ｓの２通りになり、ＡからＳを選んだとき、Ｄからｐ、ｑまたはｒを選んだときの模様は、それぞれＰとｓ、Ｑとｓ、Ｒとｓを選んだときの模様と同じになるので、Ｄからの選び方はｓの１通りになります。
したがって、２つの正三角形をＡとＤとした場合の選び方は、４＋３＋２＋１＝１０（通り）です。
以上から、２４枚のうち２枚を取りかえたときの模様の数は、６＋１６＋１６＋１０＝４８（通り）で、これが答えです。
長くなってしまいましたが、簡単な問題です。
今回は、２０１８年桜蔭中入試に出題された並べ方の問題を取り上げます。
問題は、
「同じ大きさの白と黒の正三角形の板がたくさんあります。図のように白い板を２４枚すきまなく並べて正六角形を作ります。
次に、２４枚のうち何枚かを黒い板と取りかえます。
このとき、正六角形の模様は何通り作れますか。
ただし、回転させて同じになるものは同じ模様とみなします。また、正六角形を裏返すことはしません。
① ２４枚のうち１枚を取りかえたとき
② ２４枚のうち２枚を取りかえたとき」
です。
早速 ① から取り掛かりましょう。
正六角形を図１のように、ＡからＦの６つの正三角形に分割すると、これらの正三角形は、６０°、１２０°、１８０°、２４０°または３００°の回転で、互いに重ね合わせることができます。
▲図１．正六角形を６つの正三角形に分割しました
つまり、ある正三角形のなかの小さな正三角形を黒に取りかえた模様は、他の正三角形のなかの同じ位置関係にある小さな正三角形を黒に取りかえた模様と、６０°、１２０°、１８０°、２４０°または３００°の回転によって同じになります。
したがって、２４枚のうち１枚を取りかえたときの模様の数は、分割した１つの正三角形のなかの小さな正三角形の個数に等しく、答えは ４通り です。
続いて ② です。
まず、６つに分割した正三角形の１つのなかの４つの小さな正三角形の２つを黒に取りかえた場合を考えましょう。
この場合の模様は、残りの５つの正三角形で、同じ位置関係にある２つの小さな正三角形を黒に取りかえた模様と、６０°、１２０°、１８０°、２４０°または３００°の回転によって同じになります。
つまり、６つに分割した正三角形の１つのなかの２つの小さな正三角形を黒に取りかえた模様の数は、４つの小さな正三角形からの２つの選び方になるので、４×３÷２＝６（通り）です。
次に、６つに分割した正三角形の２つから、それぞれ１つずつ小さな正三角形を黒に取りかえた場合を考えると、
・２つの正三角形をＡとＢとしたときの模様 ＝ ２つの正三角形を、ＢとＣ、ＣとＤ、ＤとＥ、ＥとＦ、ＦとＡとしたときの模様
・２つの正三角形をＡとＣとしたときの模様 ＝ ２つの正三角形を、ＢとＤ、ＣとＥ、ＤとＦ、ＥとＡ、ＦとＢとしたときの模様
・２つの正三角形をＡとＤとしたときの模様 ＝ ２つの正三角形を、ＢとＥ、ＣとＦとしたときの模様
です。
つまり、２つの正三角形をＡとＢ、ＡとＣ、ＡとＤとしたときのそれぞれの模様の数の和を勘定すればよいことになります。
●２つの正三角形をＡとＢとした場合
ＡとＢの小さな正三角形の選び方は、それぞれ４通りなので、４×４＝１６（通り）です。
●２つの正三角形をＡとＣとした場合
ＡとＣの小さな正三角形の選び方は、それぞれ４通りなので、４×４＝１６（通り）です。
●２つの正三角形をＡとＤとした場合
図２のように、ＡとＤのなかの小さな正三角形をそれぞれＰ、Ｑ、Ｒ、Ｓ、Ｄとｐ、ｑ、ｒ、ｓとします。
▲図２．ＡとＤのなかの小さな正三角形をそれぞれＰ、Ｑ、Ｒ、Ｓとｐ、ｑ、ｒ、ｓとしました
初めにＡからＰを選んだとき、Ｄからの選び方は、ｐ、ｑ、ｒ、ｓの４通りです。
次にＡからＱを選んだとき、Ｄからｐを選んだときの模様は、正六角形を１８０°回転させると、Ｐとｑを選んだときの模様と同じになるので、Ｄからの選び方は、ｑ、ｒ、ｓの３通り になります。
同じように、ＡからＲを選んだとき、Ｄからｐまたはｑを選んだときの模様は、それぞれＰとｒ、Ｑとｒを選んだときの模様と同じになるので、Ｄからの選び方は、ｒ、ｓの２通りになり、ＡからＳを選んだとき、Ｄからｐ、ｑまたはｒを選んだときの模様は、それぞれＰとｓ、Ｑとｓ、Ｒとｓを選んだときの模様と同じになるので、Ｄからの選び方はｓの１通りになります。
したがって、２つの正三角形をＡとＤとした場合の選び方は、４＋３＋２＋１＝１０（通り）です。
以上から、２４枚のうち２枚を取りかえたときの模様の数は、６＋１６＋１６＋１０＝４８（通り）で、これが答えです。
長くなってしまいましたが、簡単な問題です。