こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
昨夜のしっかりした雨は今朝には上がっていて、昼前には雲の間から晴れ間が見られるようになりました。これから晴れ間がひろがり、最高気温は２８℃に達するようです。
さて、今回は２００３年ジュニア数学オリンピック予選に出題された場合の数の問題を取り上げます。
問題は、
「正４面体ＡＢＣＤがある。頂点Ａからアリが辺をつたって進み、残りの３つの頂点をちょうど１回ずつ経由して、頂点Ａに戻ってくる。このような進み方は何通りあるか。」
▲問題図
です。
全ての経路を書き上げると、
（１） Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ａ
（２） Ａ→Ｂ→Ｄ→Ｃ→Ａ
（３） Ａ→Ｃ→Ｂ→Ｄ→Ａ
（４） Ａ→Ｃ→Ｄ→Ｂ→Ａ
（５） Ａ→Ｄ→Ｂ→Ｃ→Ａ
（６） Ａ→Ｄ→Ｃ→Ｂ→Ａ
で、答えは ６通り です。
計算で答えを求めるには、頂点Ａの次に通る頂点は３通り、次の頂点は２通り、さらに次の頂点は１通り、最後に頂点Ａに戻るのは１通りで、これらを掛け合わせて、
３×２×１×１＝６通り
になります。
ついでに、下図のような正４面体を２つ組み合わせた図形で調べてみましょう。
▲図．正４面体を２つ組み合わせた図形で調べます
この場合、頂点Ｅから頂点Ａに直接戻ることができないので、（１）から（６）の経路の２番目または３番目の→の後に頂点Ｅがこなければなりません。
したがって、経路は６×２＝１２通りです。
計算で答えを求めてみましょう。
頂点Ａから次に通る頂点は３通りで、次に頂点Ｅに進む場合とそうでない場合で場合分けをします。
●頂点Ｅに進む場合
２番目の頂点から頂点Ｅに進むのは１通り、次の頂点は２通り、さらに次の頂点は１通り、最後に頂点Ａに戻るのは１通りで、この場合の経路は、
３×１×２×１×１＝６通り
です。
●頂点Ｅ以外に進む場合
２番目の頂点から頂点Ｅ以外に進むのは２通り、次は頂点Ｅに進むので１通り、さらに次の頂点は１通り、最後に頂点Ａに戻るのは１通りで、この場合のの経路は、
３×２×１×１×１＝６通り
です。
したがって、すべての経路は、
６＋６＝１２通り
になります。
簡単な問題です。
昨夜のしっかりした雨は今朝には上がっていて、昼前には雲の間から晴れ間が見られるようになりました。これから晴れ間がひろがり、最高気温は２８℃に達するようです。
さて、今回は２００３年ジュニア数学オリンピック予選に出題された場合の数の問題を取り上げます。
問題は、
「正４面体ＡＢＣＤがある。頂点Ａからアリが辺をつたって進み、残りの３つの頂点をちょうど１回ずつ経由して、頂点Ａに戻ってくる。このような進み方は何通りあるか。」
▲問題図
です。
全ての経路を書き上げると、
（１） Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ａ
（２） Ａ→Ｂ→Ｄ→Ｃ→Ａ
（３） Ａ→Ｃ→Ｂ→Ｄ→Ａ
（４） Ａ→Ｃ→Ｄ→Ｂ→Ａ
（５） Ａ→Ｄ→Ｂ→Ｃ→Ａ
（６） Ａ→Ｄ→Ｃ→Ｂ→Ａ
で、答えは ６通り です。
計算で答えを求めるには、頂点Ａの次に通る頂点は３通り、次の頂点は２通り、さらに次の頂点は１通り、最後に頂点Ａに戻るのは１通りで、これらを掛け合わせて、
３×２×１×１＝６通り
になります。
ついでに、下図のような正４面体を２つ組み合わせた図形で調べてみましょう。
▲図．正４面体を２つ組み合わせた図形で調べます
この場合、頂点Ｅから頂点Ａに直接戻ることができないので、（１）から（６）の経路の２番目または３番目の→の後に頂点Ｅがこなければなりません。
したがって、経路は６×２＝１２通りです。
計算で答えを求めてみましょう。
頂点Ａから次に通る頂点は３通りで、次に頂点Ｅに進む場合とそうでない場合で場合分けをします。
●頂点Ｅに進む場合
２番目の頂点から頂点Ｅに進むのは１通り、次の頂点は２通り、さらに次の頂点は１通り、最後に頂点Ａに戻るのは１通りで、この場合の経路は、
３×１×２×１×１＝６通り
です。
●頂点Ｅ以外に進む場合
２番目の頂点から頂点Ｅ以外に進むのは２通り、次は頂点Ｅに進むので１通り、さらに次の頂点は１通り、最後に頂点Ａに戻るのは１通りで、この場合のの経路は、
３×２×１×１×１＝６通り
です。
したがって、すべての経路は、
６＋６＝１２通り
になります。
簡単な問題です。